Решение задачи по статике: Главный вектор и момент сил

1. Теоретические определения Главным вектором системы сил называется векторная сумма всех сил, входящих в систему. Он не зависит от выбора центра приведения. \[ \vec{R} = \sum \vec{F}_i \] Главным моментом системы сил относительно заданного центра O называется векторная сумма моментов всех сил системы относительно этого центра. \[ \vec{M}_O = \sum \text{rot}_O(\vec{F}_i) = \sum (\vec{r}_i \times \vec{F}_i) \] Основная теорема статики (теорема Пуансо): любую произвольную систему сил, действующих на абсолютно твердое тело, можно заменить одной силой, равной главному вектору системы и приложенной в произвольно выбранном центре приведения O, и одной парой сил с моментом, равным главному моменту системы относительно этого центра. 2. Решение задачи Дано: Сила \( \vec{F}_A = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 2\vec{k} \), точка приложения \( A(1; -2; 4) \) Сила \( \vec{F}_B = 5\vec{i} + 0\vec{j} + 8\vec{k} \), точка приложения \( B(-3; 1; 1) \) Центр приведения \( O(0; 0; 0) \) Найти: Главный вектор \( \vec{R} \) и главный момент \( \vec{M}_O \). Вычисление главного вектора: \[ \vec{R} = \vec{F}_A + \vec{F}_B \] \[ \vec{R} = (2 + 5)\vec{i} + (3 + 0)\vec{j} + (2 + 8)\vec{k} = 7\vec{i} + 3\vec{j} + 10\vec{k} \] Вычисление главного момента: Главный момент равен сумме векторных произведений радиус-векторов точек приложения на векторы сил: \[ \vec{M}_O = (\vec{r}_A \times \vec{F}_A) + (\vec{r}_B \times \vec{F}_B) \] Вычислим момент силы \( \vec{F}_A \): \[ \vec{M}_A = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 4 \\ 2 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(-4 - 12) - \vec{j}(2 - 8) + \vec{k}(3 - (-4)) = -16\vec{i} + 6\vec{j} + 7\vec{k} \] Вычислим момент силы \( \vec{F}_B \): \[ \vec{M}_B = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 1 & 1 \\ 5 & 0 & 8 \end{vmatrix} = \vec{i}(8 - 0) - \vec{j}(-24 - 5) + \vec{k}(0 - 5) = 8\vec{i} + 29\vec{j} - 5\vec{k} \] Суммируем моменты: \[ \vec{M}_O = (-16 + 8)\vec{i} + (6 + 29)\vec{j} + (7 - 5)\vec{k} = -8\vec{i} + 35\vec{j} + 2\vec{k} \] Ответ: Главный вектор \( \vec{R} = 7\vec{i} + 3\vec{j} + 10\vec{k} \) Главный момент \( \vec{M}_O = -8\vec{i} + 35\vec{j} + 2\vec{k} \)