Отлично! Давайте решим эти задачи по цепям переменного тока.
***
Вариант 1
Условие:
Используя треугольник сопротивлений для цепи «r-L», рассчитайте мощность и параметры однофазной неразветвленной цепи переменного тока, если заданы \(z = 30 \text{ Ом}\), угол сдвига фаз \(\varphi = 60^\circ\). Сила тока в цепи равна \(I = 2 \text{ А}\).
Определить:
- напряжение цепи, \(U\);
- индуктивное сопротивление потребителя, \(x_L\);
- активное сопротивление потребителя, \(r\);
- полную мощность цепи, \(S\), реактивную мощность, \(Q\), активную мощность цепи, \(P\).
Решение:
Дано:
\(z = 30 \text{ Ом}\)
\(\varphi = 60^\circ\)
\(I = 2 \text{ А}\)
Найти: \(U\), \(x_L\), \(r\), \(S\), \(Q\), \(P\).
1.
Определим напряжение цепи \(U\).
Используем закон Ома для полной цепи:
\[U = I \cdot z\]
Подставим известные значения:
\[U = 2 \text{ А} \cdot 30 \text{ Ом} = 60 \text{ В}\]
Напряжение цепи равно 60 В.
2.
Определим активное сопротивление потребителя \(r\).
Из треугольника сопротивлений известно, что:
\[r = z \cdot \cos \varphi\]
Подставим известные значения:
\[r = 30 \text{ Ом} \cdot \cos(60^\circ) = 30 \text{ Ом} \cdot 0.5 = 15 \text{ Ом}\]
Активное сопротивление потребителя равно 15 Ом.
3.
Определим индуктивное сопротивление потребителя \(x_L\).
Из треугольника сопротивлений известно, что:
\[x_L = z \cdot \sin \varphi\]
Подставим известные значения:
\[x_L = 30 \text{ Ом} \cdot \sin(60^\circ) = 30 \text{ Ом} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 30 \text{ Ом} \cdot 0.866 \approx 25.98 \text{ Ом}\]
Индуктивное сопротивление потребителя примерно равно 25.98 Ом.
4.
Определим активную мощность цепи \(P\).
Активная мощность рассчитывается по формуле:
\[P = U \cdot I \cdot \cos \varphi\]
Или, используя активное сопротивление:
\[P = I^2 \cdot r\]
Подставим известные значения:
\[P = (2 \text{ А})^2 \cdot 15 \text{ Ом} = 4 \text{ А}^2 \cdot 15 \text{ Ом} = 60 \text{ Вт}\]
Активная мощность цепи равна 60 Вт.
5.
Определим реактивную мощность цепи \(Q\).
Реактивная мощность рассчитывается по формуле:
\[Q = U \cdot I \cdot \sin \varphi\]
Или, используя индуктивное сопротивление:
\[Q = I^2 \cdot x_L\]
Подставим известные значения:
\[Q = (2 \text{ А})^2 \cdot 25.98 \text{ Ом} = 4 \text{ А}^2 \cdot 25.98 \text{ Ом} \approx 103.92 \text{ ВАр}\]
Реактивная мощность цепи примерно равна 103.92 ВАр.
6.
Определим полную мощность цепи \(S\).
Полная мощность рассчитывается по формуле:
\[S = U \cdot I\]
Или, используя полное сопротивление:
\[S = I^2 \cdot z\]
Подставим известные значения:
\[S = 60 \text{ В} \cdot 2 \text{ А} = 120 \text{ ВА}\]
Полная мощность цепи равна 120 ВА.
Проверим по теореме Пифагора для мощностей:
\[S = \sqrt{P^2 + Q^2}\]
\[S = \sqrt{(60 \text{ Вт})^2 + (103.92 \text{ ВАр})^2} = \sqrt{3600 + 10799.36} = \sqrt{14399.36} \approx 119.99 \text{ ВА}\]
Результаты совпадают с небольшой погрешностью из-за округления.
Ответ:
- Напряжение цепи \(U = 60 \text{ В}\).
- Активное сопротивление потребителя \(r = 15 \text{ Ом}\).
- Индуктивное сопротивление потребителя \(x_L \approx 25.98 \text{ Ом}\).
- Активная мощность цепи \(P = 60 \text{ Вт}\).
- Реактивная мощность цепи \(Q \approx 103.92 \text{ ВАр}\).
- Полная мощность цепи \(S = 120 \text{ ВА}\).
***
Задача 2
Условие:
Необходимо рассчитать параметры электрической цепи переменного тока с последовательным соединением резистора, катушки индуктивности и конденсатора, если:
- мгновенное значение напряжения источника равно \(u = 282 \sin(\omega t)\);
- параметры элементов электрической цепи равны: \(r = 4 \text{ Ом}\), \(L = 0.0191 \text{ Гн}\), \(C = 200 \text{ мкФ}\).
Составьте схему замещения электрической цепи переменного тока с последовательным соединением элементов цепи.
Определите \(I\), \(U_r\), \(U_L\), \(U_C\), \(P\), \(Q\), \(S\).
Решение:
Дано:
\(u = 282 \sin(\omega t)\)
\(r = 4 \text{ Ом}\)
\(L = 0.0191 \text{ Гн}\)
\(C = 200 \text{ мкФ} = 200 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}\)
Найти: \(I\), \(U_r\), \(U_L\), \(U_C\), \(P\), \(Q\), \(S\).
1.
Составим схему замещения.
Схема замещения для последовательного соединения резистора, катушки индуктивности и конденсатора представляет собой последовательно соединенные элементы: резистор (обозначается прямоугольником), индуктивность (обозначается спиралью) и конденсатор (обозначается двумя параллельными линиями). Источник переменного напряжения подключается к этой цепи.
(Здесь должно быть изображение схемы. Поскольку я не могу рисовать, опишу словами: это последовательная цепь, состоящая из источника переменного напряжения, резистора \(r\), катушки индуктивности \(L\) и конденсатора \(C\). Все элементы соединены друг за другом.)
2.
Определим действующее значение напряжения источника \(U\) и угловую частоту \(\omega\).
Из выражения для мгновенного значения напряжения \(u = U_m \sin(\omega t)\) видно, что амплитудное значение напряжения \(U_m = 282 \text{ В}\).
Действующее значение напряжения:
\[U = \frac{U_m}{\sqrt{2}}\]
\[U = \frac{282 \text{ В}}{\sqrt{2}} \approx \frac{282}{1.414} \approx 199.43 \text{ В}\]
Обычно в таких задачах, если не указана частота, подразумевается стандартная частота сети 50 Гц, или же \(\omega\) может быть задана неявно. Если \(\omega\) не задана, то для получения численных значений необходимо принять её. Допустим, что \(\omega = 314 \text{ рад/с}\) (что соответствует частоте 50 Гц, так как \(\omega = 2\pi f = 2 \cdot 3.14 \cdot 50 = 314 \text{ рад/с}\)).
3.
Рассчитаем индуктивное сопротивление \(x_L\).
\[x_L = \omega L\]
\[x_L = 314 \text{ рад/с} \cdot 0.0191 \text{ Гн} \approx 5.99 \text{ Ом}\]
4.
Рассчитаем емкостное сопротивление \(x_C\).
\[x_C = \frac{1}{\omega C}\]
\[x_C = \frac{1}{314 \text{ рад/с} \cdot 200 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{314 \cdot 0.0002} = \frac{1}{0.0628} \approx 15.92 \text{ Ом}\]
5.
Рассчитаем полное сопротивление цепи \(z\).
Для последовательной RLC-цепи полное сопротивление:
\[z = \sqrt{r^2 + (x_L - x_C)^2}\]
\[z = \sqrt{(4 \text{ Ом})^2 + (5.99 \text{ Ом} - 15.92 \text{ Ом})^2}\]
\[z = \sqrt{16 + (-9.93)^2} = \sqrt{16 + 98.6049} = \sqrt{114.6049} \approx 10.705 \text{ Ом}\]
6.
Определим действующее значение тока в цепи \(I\).
По закону Ома:
\[I = \frac{U}{z}\]
\[I = \frac{199.43 \text{ В}}{10.705 \text{ Ом}} \approx 18.63 \text{ А}\]
7.
Определим падения напряжения на элементах цепи: \(U_r\), \(U_L\), \(U_C\).
На резисторе:
\[U_r = I \cdot r\]
\[U_r = 18.63 \text{ А} \cdot 4 \text{ Ом} = 74.52 \text{ В}\]
На катушке индуктивности:
\[U_L = I \cdot x_L\]
\[U_L = 18.63 \text{ А} \cdot 5.99 \text{ Ом} \approx 111.61 \text{ В}\]
На конденсаторе:
\[U_C = I \cdot x_C\]
\[U_C = 18.63 \text{ А} \cdot 15.92 \text{ Ом} \approx 296.69 \text{ В}\]
Проверим по закону Кирхгофа для напряжений (векторная сумма):
\[U = \sqrt{U_r^2 + (U_L - U_C)^2}\]
\[U = \sqrt{(74.52)^2 + (111.61 - 296.69)^2}\]
\[U = \sqrt{5553.23 + (-185.08)^2} = \sqrt{5553.23 + 34254.61} = \sqrt{39807.84} \approx 199.52 \text{ В}\]
Полученное значение близко к действующему напряжению источника (199.43 В), расхождения из-за округлений.
8.
Определим активную мощность цепи \(P\).
\[P = I^2 \cdot r\]
\[P = (18.63 \text{ А})^2 \cdot 4 \text{ Ом} = 347.08 \cdot 4 = 1388.32 \text{ Вт}\]
Или:
\[P = U_r \cdot I = 74.52 \text{ В} \cdot 18.63 \text{ А} \approx 1388.32 \text{ Вт}\]
9.
Определим реактивную мощность цепи \(Q\).
\[Q = I^2 \cdot (x_L - x_C)\]
\[Q = (18.63 \text{ А})^2 \cdot (5.99 \text{ Ом} - 15.92 \text{ Ом}) = 347.08 \cdot (-9.93) \approx -3446.0 \text{ ВАр}\]
Отрицательное значение \(Q\) указывает на емкостной характер цепи (так как \(x_C > x_L\)).
Или:
\[Q = U_L \cdot I - U_C \cdot I = (U_L - U_C) \cdot I\]
\[Q = (111.61 \text{ В} - 296.69 \text{ В}) \cdot 18.63 \text{ А} = (-185.08 \text{ В}) \cdot 18.63 \text{ А} \approx -3447.0 \text{ ВАр}\]
10.
Определим полную мощность цепи \(S\).
\[S = U \cdot I\]
\[S = 199.43 \text{ В} \cdot 18.63 \text{ А} \approx 3715.9 \text{ ВА}\]
Проверим по теореме Пифагора для мощностей:
\[S = \sqrt{P^2 + Q^2}\]
\[S = \sqrt{(1388.32 \text{ Вт})^2 + (-3446.0 \text{ ВАр})^2}\]
\[S = \sqrt{1927400 + 11875900} = \sqrt{13803300} \approx 3715.28 \text{ ВА}\]
Результаты совпадают с небольшой погрешностью из-за округления.
Ответ:
- Действующее значение тока в цепи \(I \approx 18.63 \text{ А}\).
- Падение напряжения на резисторе \(U_r = 74.52 \text{ В}\).
- Падение напряжения на катушке индуктивности \(U_L \approx 111.61 \text{ В}\).
- Падение напряжения на конденсаторе \(U_C \approx 296.69 \text{ В}\).
- Активная мощность цепи \(P \approx 1388.32 \text{ Вт}\).
- Реактивная мощность цепи \(Q \approx -3446.0 \text{ ВАр}\) (цепь имеет емкостной характер).
- Полная мощность цепи \(S \approx 3715.9 \text{ ВА}\).
