Вариант 1
Условие:
Используя треугольник сопротивлений для цепи «r-L», рассчитайте мощность и параметры однофазной неразветвленной цепи переменного тока, если заданы \(z = 30 \text{ Ом}\), угол сдвига фаз \(\varphi = 60^\circ\). Сила тока в цепи равна \(I = 2 \text{ А}\).Определить:
- напряжение цепи, \(U\);
- индуктивное сопротивление потребителя, \(x_L\);
- активное сопротивление потребителя, \(r\);
- полную мощность цепи, \(S\), реактивную мощность, \(Q\), активную мощность цепи, \(P\).
Решение:
Запишем известные данные:
- Полное сопротивление цепи: \(z = 30 \text{ Ом}\)
- Угол сдвига фаз: \(\varphi = 60^\circ\)
- Сила тока в цепи: \(I = 2 \text{ А}\)
Нам нужно найти напряжение, активное и индуктивное сопротивления, а также все виды мощностей.
1. Напряжение цепи, \(U\):
Напряжение в цепи переменного тока можно найти по закону Ома для полной цепи:
\[U = I \cdot z\]Подставим значения:
\[U = 2 \text{ А} \cdot 30 \text{ Ом} = 60 \text{ В}\]Итак, напряжение цепи равно 60 В.
2. Активное сопротивление потребителя, \(r\):
Из треугольника сопротивлений мы знаем, что активное сопротивление связано с полным сопротивлением и углом сдвига фаз следующим образом:
\[r = z \cdot \cos \varphi\]Подставим значения:
\[r = 30 \text{ Ом} \cdot \cos 60^\circ\]Так как \(\cos 60^\circ = 0.5\):
\[r = 30 \text{ Ом} \cdot 0.5 = 15 \text{ Ом}\]Итак, активное сопротивление потребителя равно 15 Ом.
3. Индуктивное сопротивление потребителя, \(x_L\):
Из треугольника сопротивлений индуктивное сопротивление можно найти так:
\[x_L = z \cdot \sin \varphi\]Подставим значения:
\[x_L = 30 \text{ Ом} \cdot \sin 60^\circ\]Так как \(\sin 60^\circ \approx 0.866\):
\[x_L = 30 \text{ Ом} \cdot 0.866 \approx 25.98 \text{ Ом}\]Итак, индуктивное сопротивление потребителя примерно равно 25.98 Ом.
4. Полная мощность цепи, \(S\):
Полная мощность рассчитывается по формуле:
\[S = U \cdot I\]Подставим найденное напряжение и заданный ток:
\[S = 60 \text{ В} \cdot 2 \text{ А} = 120 \text{ ВА}\]Итак, полная мощность цепи равна 120 ВА.
5. Активная мощность цепи, \(P\):
Активная мощность может быть найдена по формуле:
\[P = U \cdot I \cdot \cos \varphi \quad \text{или} \quad P = I^2 \cdot r\]Используем первую формулу:
\[P = 60 \text{ В} \cdot 2 \text{ А} \cdot \cos 60^\circ\] \[P = 120 \text{ ВА} \cdot 0.5 = 60 \text{ Вт}\]Проверим по второй формуле:
\[P = (2 \text{ А})^2 \cdot 15 \text{ Ом} = 4 \text{ А}^2 \cdot 15 \text{ Ом} = 60 \text{ Вт}\]Результаты совпадают. Итак, активная мощность цепи равна 60 Вт.
6. Реактивная мощность цепи, \(Q\):
Реактивная мощность может быть найдена по формуле:
\[Q = U \cdot I \cdot \sin \varphi \quad \text{или} \quad Q = I^2 \cdot x_L\]Используем первую формулу:
\[Q = 60 \text{ В} \cdot 2 \text{ А} \cdot \sin 60^\circ\] \[Q = 120 \text{ ВА} \cdot 0.866 \approx 103.92 \text{ ВАр}\]Проверим по второй формуле:
\[Q = (2 \text{ А})^2 \cdot 25.98 \text{ Ом} = 4 \text{ А}^2 \cdot 25.98 \text{ Ом} \approx 103.92 \text{ ВАр}\]Результаты совпадают. Итак, реактивная мощность цепи примерно равна 103.92 ВАр.
Ответ:
- Напряжение цепи \(U = 60 \text{ В}\).
- Активное сопротивление потребителя \(r = 15 \text{ Ом}\).
- Индуктивное сопротивление потребителя \(x_L \approx 25.98 \text{ Ом}\).
- Полная мощность цепи \(S = 120 \text{ ВА}\).
- Активная мощность цепи \(P = 60 \text{ Вт}\).
- Реактивная мощность цепи \(Q \approx 103.92 \text{ ВАр}\).
Задача 2
Условие:
Необходимо рассчитать параметры электрической цепи переменного тока с последовательным соединением резистора, катушки индуктивности и конденсатора, если:- мгновенное значение напряжения источника равно \(u = 282 \sin \omega t\);
- параметры элементов электрической цепи равны: \(r = 4 \text{ Ом}\), \(L = 0.0191 \text{ Гн}\), \(C = 200 \text{ мкФ}\).
Решение:
Запишем известные данные:
- Мгновенное значение напряжения: \(u = 282 \sin \omega t\)
- Активное сопротивление: \(r = 4 \text{ Ом}\)
- Индуктивность: \(L = 0.0191 \text{ Гн}\)
- Емкость: \(C = 200 \text{ мкФ} = 200 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}\)
Из выражения для мгновенного значения напряжения \(u = U_m \sin \omega t\) мы видим, что амплитудное значение напряжения \(U_m = 282 \text{ В}\).
Действующее значение напряжения источника:
\[U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} = \frac{282 \text{ В}}{\sqrt{2}} \approx \frac{282}{1.414} \approx 199.43 \text{ В}\]Для удобства расчетов примем \(U = 200 \text{ В}\).
Также из выражения \(u = 282 \sin \omega t\) мы можем определить угловую частоту \(\omega\). В стандартных задачах, если не указано иное, часто принимают \(\omega = 314 \text{ рад/с}\) (что соответствует частоте 50 Гц). Если бы было указано, например, \(u = 282 \sin(100 \pi t)\), то \(\omega = 100 \pi \approx 314 \text{ рад/с}\). В данном случае, поскольку \(\omega\) не указана явно числом, мы не можем точно рассчитать индуктивное и емкостное сопротивления. Предположим, что \(\omega = 314 \text{ рад/с}\).
1. Схема замещения:
Схема замещения для последовательного соединения резистора, катушки индуктивности и конденсатора выглядит следующим образом:
Источник напряжения ---[Резистор \(r\)]---[Катушка \(L\)]---[Конденсатор \(C\)]--- Источник напряжения
Все элементы соединены последовательно, то есть ток через них будет одинаковым.
2. Расчет индуктивного и емкостного сопротивлений:
Индуктивное сопротивление:
\[x_L = \omega L\]Принимаем \(\omega = 314 \text{ рад/с}\):
\[x_L = 314 \text{ рад/с} \cdot 0.0191 \text{ Гн} \approx 5.99 \text{ Ом}\]Для удобства расчетов примем \(x_L = 6 \text{ Ом}\).
Емкостное сопротивление:
\[x_C = \frac{1}{\omega C}\] \[x_C = \frac{1}{314 \text{ рад/с} \cdot 200 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{314 \cdot 0.0002} = \frac{1}{0.0628} \approx 15.92 \text{ Ом}\]Для удобства расчетов примем \(x_C = 16 \text{ Ом}\).
3. Полное сопротивление цепи, \(z\):
Для последовательного RLC-контура полное сопротивление рассчитывается по формуле:
\[z = \sqrt{r^2 + (x_L - x_C)^2}\]Подставим значения:
\[z = \sqrt{4^2 + (6 - 16)^2} = \sqrt{16 + (-10)^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} \approx 10.77 \text{ Ом}\]Итак, полное сопротивление цепи примерно равно 10.77 Ом.
4. Сила тока в цепи, \(I\):
Сила тока в цепи определяется по закону Ома:
\[I = \frac{U}{z}\]Подставим значения:
\[I = \frac{200 \text{ В}}{10.77 \text{ Ом}} \approx 18.57 \text{ А}\]Итак, сила тока в цепи примерно равна 18.57 А.
5. Напряжения на элементах цепи:
Напряжение на резисторе \(U_r\):
\[U_r = I \cdot r\] \[U_r = 18.57 \text{ А} \cdot 4 \text{ Ом} \approx 74.28 \text{ В}\]Напряжение на катушке индуктивности \(U_L\):
\[U_L = I \cdot x_L\] \[U_L = 18.57 \text{ А} \cdot 6 \text{ Ом} \approx 111.42 \text{ В}\]Напряжение на конденсаторе \(U_C\):
\[U_C = I \cdot x_C\] \[U_C = 18.57 \text{ А} \cdot 16 \text{ Ом} \approx 297.12 \text{ В}\]6. Мощности цепи:
Активная мощность \(P\):
\[P = I^2 \cdot r\] \[P = (18.57 \text{ А})^2 \cdot 4 \text{ Ом} \approx 344.84 \cdot 4 \approx 1379.36 \text{ Вт}\]Реактивная мощность \(Q\):
\[Q = I^2 \cdot (x_L - x_C)\] \[Q = (18.57 \text{ А})^2 \cdot (6 - 16) \text{ Ом} = 344.84 \cdot (-10) \approx -3448.4 \text{ ВАр}\]Отрицательное значение реактивной мощности означает, что цепь имеет емкостной характер (преобладает емкостное сопротивление над индуктивным).
Полная мощность \(S\):
\[S = U \cdot I\] \[S = 200 \text{ В} \cdot 18.57 \text{ А} \approx 3714 \text{ ВА}\]Также полную мощность можно проверить по формуле:
\[S = \sqrt{P^2 + Q^2}\] \[S = \sqrt{(1379.36)^2 + (-3448.4)^2} = \sqrt{1902650 + 11891460} = \sqrt{13794110} \approx 3714.04 \text{ ВА}\]Результаты совпадают.
Ответ:
- Сила тока в цепи \(I \approx 18.57 \text{ А}\).
- Напряжение на резисторе \(U_r \approx 74.28 \text{ В}\).
- Напряжение на катушке индуктивности \(U_L \approx 111.42 \text{ В}\).
- Напряжение на конденсаторе \(U_C \approx 297.12 \text{ В}\).
- Активная мощность цепи \(P \approx 1379.36 \text{ Вт}\).
- Реактивная мощность цепи \(Q \approx -3448.4 \text{ ВАр}\) (емкостной характер).
- Полная мощность цепи \(S \approx 3714 \text{ ВА}\).
Примечание: Если бы в условии была явно указана угловая частота \(\omega\), например, \(\omega = 100 \pi\) или \(\omega = 314\), то расчеты были бы более точными. В данном случае я принял стандартное значение \(\omega = 314 \text{ рад/с}\) для частоты 50 Гц.