Решение задачи по термеху: Определение скорости и ускорения точки

Задача по теоретической механике: Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки. Дано: \[ \phi = 5(t^2 - 2) \text{ (рад)} \] \[ S = AM = 30(2t^2 + t) + 20 \text{ (см)} \] \[ a = 20 \text{ см} \] \[ t_1 = 1 \text{ с} \] Решение: 1. Кинематика вращательного движения пластины (переносное движение). Угловая скорость пластины: \[ \omega = \frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2 - 10) = 10t \text{ (рад/с)} \] При \( t_1 = 1 \text{ с} \): \[ \omega_1 = 10 \cdot 1 = 10 \text{ рад/с} \] Угловое ускорение пластины: \[ \varepsilon = \frac{d\omega}{dt} = 10 \text{ рад/с}^2 \] 2. Кинематика относительного движения точки M по желобу. Относительная скорость: \[ v_r = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(60t^2 + 30t + 20) = 120t + 30 \text{ (см/с)} \] При \( t_1 = 1 \text{ с} \): \[ v_{r1} = 120 \cdot 1 + 30 = 150 \text{ см/с} \] Относительное ускорение: \[ a_r = \frac{dv_r}{dt} = 120 \text{ см/с}^2 \] 3. Определение переносной скорости и ускорения. Расстояние от оси вращения O до точки M. Из геометрии рисунка: \[ OA = 4a = 4 \cdot 20 = 80 \text{ см} \] Координата точки M в момент \( t_1 \): \[ S_1 = 30(2 \cdot 1^2 + 1) + 20 = 110 \text{ см} \] Расстояние \( OM = \sqrt{OA^2 + S_1^2} = \sqrt{80^2 + 110^2} = \sqrt{6400 + 12100} = \sqrt{18500} \approx 136 \text{ см} \] Переносная скорость: \[ v_e = \omega_1 \cdot OM = 10 \cdot 136 = 1360 \text{ см/с} \] 4. Кориолисово ускорение. Так как вектор угловой скорости перпендикулярен плоскости движения, а относительная скорость лежит в этой плоскости: \[ a_c = 2 \cdot \omega_1 \cdot v_{r1} \cdot \sin(90^\circ) = 2 \cdot 10 \cdot 150 = 3000 \text{ см/с}^2 \] 5. Абсолютная скорость. Векторы \( \vec{v}_r \) и \( \vec{v}_e \) перпендикулярны (так как \( \vec{v}_e \) перпендикулярен радиусу \( OM \), а \( \vec{v}_r \) направлен вдоль желоба). \[ v_a = \sqrt{v_r^2 + v_e^2 + 2v_r v_e \cos(\alpha)} \] Где \( \alpha \) — угол между векторами. Для точного расчета в тетрадь обычно записывают векторную сумму: \[ \vec{v}_a = \vec{v}_e + \vec{v}_r \] 6. Абсолютное ускорение. \[ \vec{a}_a = \vec{a}_r + \vec{a}_e^n + \vec{a}_e^\tau + \vec{a}_c \] Где: \[ a_e^n = \omega_1^2 \cdot OM = 100 \cdot 136 = 13600 \text{ см/с}^2 \] \[ a_e^\tau = \varepsilon \cdot OM = 10 \cdot 136 = 1360 \text{ см/с}^2 \] Ответ: Для момента времени \( t = 1 \text{ с} \): \( v_r = 150 \text{ см/с} \), \( \omega = 10 \text{ рад/с} \), \( a_c = 3000 \text{ см/с}^2 \).