Решение задачи: Сложное движение точки в термехе

Для решения этой задачи по теоретической механике (раздел «Сложное движение точки») нам необходимо рассмотреть движение точки \(M\) как сумму относительного движения (по желобу) и переносного движения (вместе с пластиной). \[ \text{Дано:} \] \[ \phi = 5(t^2 - 2) \text{ (рад)} \] \[ S = AM = 30(2t^2 + t) + 20 \text{ (см)} \] \[ a = 20 \text{ см} \] \[ h = OA = 4a = 80 \text{ см} \] \[ t_1 = 1 \text{ с} \] \[ \text{1. Относительное движение (точки M по желобу)} \] Относительная скорость \( v_r \) — это производная от закона расстояния \( S(t) \): \[ v_r = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(60t^2 + 30t + 20) = 120t + 30 \] При \( t = 1 \text{ с} \): \[ v_r = 120(1) + 30 = 150 \text{ см/с} \] Относительное ускорение \( a_r \): \[ a_r = \frac{dv_r}{dt} = 120 \text{ см/с}^2 \] \[ \text{2. Переносное движение (вращение пластины вокруг оси O)} \] Угловая скорость пластины \( \omega \): \[ \omega = \frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2 - 10) = 10t \] При \( t = 1 \text{ с} \): \[ \omega = 10 \text{ рад/с} \] Угловое ускорение пластины \( \varepsilon \): \[ \varepsilon = \frac{d\omega}{dt} = 10 \text{ рад/с}^2 \] Найдем положение точки \( M \) в момент \( t = 1 \text{ с} \): \[ S_1 = AM = 30(2 \cdot 1^2 + 1) + 20 = 110 \text{ см} \] Расстояние от оси вращения \( O \) до точки \( M \) (радиус вращения): \[ R = OM = \sqrt{OA^2 + AM^2} = \sqrt{80^2 + 110^2} = \sqrt{6400 + 12100} = \sqrt{18500} \approx 136.01 \text{ см} \] Переносная скорость \( v_e \): \[ v_e = \omega \cdot R = 10 \cdot 136.01 = 1360.1 \text{ см/с} \] Переносное нормальное ускорение \( a_e^n \): \[ a_e^n = \omega^2 \cdot R = 10^2 \cdot 136.01 = 13601 \text{ см/с}^2 \] Переносное тангенциальное ускорение \( a_e^\tau \): \[ a_e^\tau = \varepsilon \cdot R = 10 \cdot 136.01 = 1360.1 \text{ см/с}^2 \] \[ \text{3. Кориолисово ускорение} \] Ускорение Кориолиса возникает из-за взаимодействия относительного и переносного движений: \[ a_c = 2 \cdot \omega \cdot v_r \cdot \sin(\vec{\omega}, \vec{v}_r) \] Так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, угол равен \( 90^\circ \): \[ a_c = 2 \cdot 10 \cdot 150 \cdot 1 = 3000 \text{ см/с}^2 \] \[ \text{4. Схема векторов (описание для тетради)} \] Для построения схемы в тетради: 1. Изобразите прямоугольник пластины и точку \( M \) на расстоянии \( 110 \text{ см} \) вправо от осевой линии \( OA \). 2. Вектор \( \vec{v}_r \) направьте вдоль желоба вправо (по направлению роста \( S \)). 3. Вектор \( \vec{v}_e \) направьте перпендикулярно отрезку \( OM \) в сторону вращения \( \phi \). 4. Вектор \( \vec{a}_c \) направьте перпендикулярно \( \vec{v}_r \) вверх (по правилу Жуковского: поворот \( \vec{v}_r \) на \( 90^\circ \) в сторону вращения пластины). 5. Вектор \( \vec{a}_r \) направьте вдоль желоба вправо. 6. Вектор \( \vec{a}_e^n \) направьте от точки \( M \) к центру \( O \). 7. Вектор \( \vec{a}_e^\tau \) направьте перпендикулярно \( OM \) (совпадает по направлению с \( \vec{v}_e \), так как вращение ускоренное). \[ \text{5. Абсолютные величины} \] Абсолютная скорость: \[ \vec{v}_a = \vec{v}_e + \vec{v}_r \] Абсолютное ускорение: \[ \vec{a}_a = \vec{a}_r + \vec{a}_e^n + \vec{a}_e^\tau + \vec{a}_c \] Для нахождения численных значений \( v_a \) и \( a_a \) необходимо спроецировать векторы на оси координат, используя угол \( \alpha \), где \( \cos \alpha = \frac{AM}{OM} = \frac{110}{136.01} \approx 0.809 \).