Решение задачи: Сложное движение точки

Для решения задачи по теоретической механике на тему «Сложное движение точки» выполним расчет всех кинематических характеристик и построим схему векторов. \( \text{Дано:} \) \( \phi = 5(t^2 - 2) \text{ (рад)} \) \( S = AM = 30(2t^2 + t) + 20 \text{ (см)} \) \( a = 20 \text{ см} \) \( OA = 4a = 80 \text{ см} \) \( t_1 = 1 \text{ с} \) \( \text{1. Относительное движение точки M (вдоль желоба)} \) Закон относительного движения: \( S(t) = 60t^2 + 30t + 20 \). Относительная скорость: \[ v_r = \frac{dS}{dt} = 120t + 30 \] При \( t_1 = 1 \text{ с} \): \( v_r = 120(1) + 30 = 150 \text{ см/с} \). Относительное ускорение: \[ a_r = \frac{dv_r}{dt} = 120 \text{ см/с}^2 \] \( \text{2. Переносное движение (вращение пластины)} \) Угловая скорость: \[ \omega = \frac{d\phi}{dt} = 10t \] При \( t_1 = 1 \text{ с} \): \( \omega = 10 \text{ рад/с} \). Угловое ускорение: \[ \varepsilon = \frac{d\omega}{dt} = 10 \text{ рад/с}^2 \] Положение точки в момент \( t_1 \): \( S_1 = AM = 30(2+1)+20 = 110 \text{ см} \). Расстояние до оси вращения: \[ R = OM = \sqrt{OA^2 + AM^2} = \sqrt{80^2 + 110^2} = \sqrt{18500} \approx 136 \text{ см} \] Переносная скорость: \[ v_e = \omega \cdot R = 10 \cdot 136 = 1360 \text{ см/с} \] Переносное нормальное ускорение: \[ a_e^n = \omega^2 \cdot R = 100 \cdot 136 = 13600 \text{ см/с}^2 \] Переносное тангенциальное ускорение: \[ a_e^\tau = \varepsilon \cdot R = 10 \cdot 136 = 1360 \text{ см/с}^2 \] \( \text{3. Кориолисово ускорение} \) \[ a_c = 2 \omega v_r \sin(90^\circ) = 2 \cdot 10 \cdot 150 = 3000 \text{ см/с}^2 \] \( \text{4. Построение схемы (инструкция для рисунка в тетради)} \) Нарисуйте прямоугольник (пластину) и точку \( O \) (шарнир) сверху посередине. Проведите вниз пунктир \( OA \) и горизонтальный желоб через точку \( A \). Отложите точку \( M \) на желобе справа от \( A \). Векторы скоростей в точке \( M \): 1. \( \vec{v}_r \): Направьте горизонтально вправо (вдоль желоба). 2. \( \vec{v}_e \): Направьте перпендикулярно отрезку \( OM \) вниз-вправо (по ходу вращения \( \phi \)). 3. \( \vec{v}_a \): Диагональ параллелограмма, построенного на \( \vec{v}_r \) и \( \vec{v}_e \). Векторы ускорений в точке \( M \): 1. \( \vec{a}_r \): Горизонтально вправо (совпадает с \( \vec{v}_r \), так как \( a_r > 0 \)). 2. \( \vec{a}_e^n \): Направьте вдоль линии \( MO \) к центру \( O \). 3. \( \vec{a}_e^\tau \): Перпендикулярно \( OM \) (совпадает по направлению с \( \vec{v}_e \)). 4. \( \vec{a}_c \): Направьте вертикально вверх. Согласно правилу Жуковского: поворачиваем вектор \( \vec{v}_r \) на \( 90^\circ \) в сторону переносного вращения (по часовой стрелке). \( \text{5. Итоговые значения (модули)} \) Абсолютная скорость: \[ v_a = \sqrt{v_r^2 + v_e^2 + 2 v_r v_e \cos(\angle \vec{v}_r, \vec{v}_e)} \] Угол между \( \vec{v}_r \) и \( \vec{v}_e \) равен углу между \( OA \) и \( OM \). Пусть \( \cos \alpha = \frac{OA}{OM} = \frac{80}{136} \approx 0.588 \). \[ v_a = \sqrt{150^2 + 1360^2 + 2 \cdot 150 \cdot 1360 \cdot 0.588} \approx 1453 \text{ см/с} \] Абсолютное ускорение находится как векторная сумма: \[ \vec{a}_a = \vec{a}_r + \vec{a}_e^n + \vec{a}_e^\tau + \vec{a}_c \]