Найти радиус цилиндра: решение задачи

Дано: Цилиндр. \(H = 7\) — высота цилиндра. \(L = 9\) — длина отрезка, соединяющего точки на основаниях. \(\alpha = 90^{\circ}\) — угол между радиусами, проведенными в эти точки. Найти: \(R\) — радиус цилиндра. Решение: Пусть \(A\) — точка на окружности верхнего основания, а \(B\) — точка на окружности нижнего основания. Отрезок \(AB = L = 9\). Спроектируем точку \(A\) на плоскость нижнего основания. Получим точку \(A_{1}\). Отрезок \(AA_{1}\) является высотой цилиндра, значит \(AA_{1} = H = 7\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AA_{1}B\), где угол \(AA_{1}B = 90^{\circ}\). По теореме Пифагора найдем длину проекции \(A_{1}B\): \[A_{1}B^2 = AB^2 - AA_{1}^2\] \[A_{1}B^2 = 9^2 - 7^2\] \[A_{1}B^2 = 81 - 49\] \[A_{1}B^2 = 32\] Точки \(A_{1}\) и \(B\) лежат на окружности нижнего основания. Пусть \(O\) — центр нижнего основания. По условию радиусы \(OA_{1}\) и \(OB\) перпендикулярны, то есть угол \(A_{1}OB = 90^{\circ}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(A_{1}OB\). В нем \(OA_{1} = OB = R\). По теореме Пифагора: \[A_{1}B^2 = OA_{1}^2 + OB^2\] \[A_{1}B^2 = R^2 + R^2\] \[A_{1}B^2 = 2R^2\] Подставим найденное ранее значение \(A_{1}B^2\): \[2R^2 = 32\] \[R^2 = 16\] \[R = 4\] Ответ: Радиус цилиндра равен 4.