Решение задачи 2.2 (Вариант 1): Функция распределения F(x)

Задача 2.2 (Вариант 1) Дана плотность распределения: \[ p(x) = \begin{cases} 0, & x \le 1 \\ x - \frac{1}{2}, & 1 < x \le 2 \\ 0, & x > 2 \end{cases} \] а) Найти функцию распределения \( F(x) \). Функция распределения определяется формулой: \[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} p(t) dt \] 1. При \( x \le 1 \): \[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 dt = 0 \] 2. При \( 1 < x \le 2 \): \[ F(x) = \int_{-\infty}^{1} 0 dt + \int_{1}^{x} (t - \frac{1}{2}) dt = \left[ \frac{t^2}{2} - \frac{1}{2}t \right]_1^x = (\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}x) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{x^2 - x}{2} \] 3. При \( x > 2 \): \[ F(x) = \int_{-\infty}^{1} 0 dt + \int_{1}^{2} (t - \frac{1}{2}) dt + \int_{2}^{x} 0 dt = \left[ \frac{t^2}{2} - \frac{1}{2}t \right]_1^2 = (\frac{4}{2} - \frac{2}{2}) - 0 = 1 \] Итоговая функция распределения: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 1 \\ \frac{x^2 - x}{2}, & 1 < x \le 2 \\ 1, & x > 2 \end{cases} \] б) Вычислить математическое ожидание \( M(X) \), дисперсию \( D(X) \) и среднее квадратическое отклонение \( \sigma(X) \). Математическое ожидание: \[ M(X) = \int_{1}^{2} x \cdot (x - \frac{1}{2}) dx = \int_{1}^{2} (x^2 - \frac{1}{2}x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{4} \right]_1^2 \] \[ M(X) = (\frac{8}{3} - \frac{4}{4}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{7}{3} - 1 + \frac{1}{4} = \frac{28 - 12 + 3}{12} = \frac{19}{12} \approx 1,583 \] Дисперсия: \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \] \[ M(X^2) = \int_{1}^{2} x^2 \cdot (x - \frac{1}{2}) dx = \int_{1}^{2} (x^3 - \frac{1}{2}x^2) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{6} \right]_1^2 \] \[ M(X^2) = (\frac{16}{4} - \frac{8}{6}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = (4 - \frac{4}{3}) - \frac{1}{12} = \frac{8}{3} - \frac{1}{12} = \frac{32 - 1}{12} = \frac{31}{12} \] \[ D(X) = \frac{31}{12} - (\frac{19}{12})^2 = \frac{31 \cdot 12 - 361}{144} = \frac{372 - 361}{144} = \frac{11}{144} \approx 0,076 \] Среднее квадратическое отклонение: \[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{\frac{11}{144}} = \frac{\sqrt{11}}{12} \approx 0,276 \] в) Найти вероятность \( P(1,5 \le X \le 1,75) \). Используем функцию распределения: \[ P(a \le X \le b) = F(b) - F(a) \] \[ P(1,5 \le X \le 1,75) = F(1,75) - F(1,5) \] \[ F(1,75) = \frac{1,75^2 - 1,75}{2} = \frac{3,0625 - 1,75}{2} = \frac{1,3125}{2} = 0,65625 \] \[ F(1,5) = \frac{1,5^2 - 1,5}{2} = \frac{2,25 - 1,5}{2} = \frac{0,75}{2} = 0,375 \] \[ P(1,5 \le X \le 1,75) = 0,65625 - 0,375 = 0,28125 \]