Решение задачи 2.3: Нахождение среднего квадратического отклонения

Задача 2.3 Дано: Случайная величина \( X \) распределена нормально. Математическое ожидание \( a = 40 \). Интервал \( (\alpha; \beta) = (36; 44) \). Вероятность попадания в интервал \( P(36 < X < 44) = 0,966 \). Найти: Среднее квадратическое отклонение \( \sigma \). Решение: Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал \( (\alpha; \beta) \) вычисляется по формуле: \[ P(\alpha < X < \beta) = \Phi\left(\frac{\beta - a}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{\alpha - a}{\sigma}\right) \] где \( \Phi(x) \) — функция Лапласа. Подставим известные значения: \[ P(36 < X < 44) = \Phi\left(\frac{44 - 40}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{36 - 40}{\sigma}\right) \] \[ 0,966 = \Phi\left(\frac{4}{\sigma}\right) - \Phi\left(-\frac{4}{\sigma}\right) \] Так как функция Лапласа нечетная \( \Phi(-x) = -\Phi(x) \), уравнение принимает вид: \[ 0,966 = \Phi\left(\frac{4}{\sigma}\right) - \left(-\Phi\left(\frac{4}{\sigma}\right)\right) \] \[ 0,966 = 2\Phi\left(\frac{4}{\sigma}\right) \] Разделим обе части на 2: \[ \Phi\left(\frac{4}{\sigma}\right) = \frac{0,966}{2} \] \[ \Phi\left(\frac{4}{\sigma}\right) = 0,483 \] По таблице значений функции Лапласа найдем аргумент, соответствующий значению 0,483: \[ \frac{4}{\sigma} \approx 2,12 \] Отсюда выразим \( \sigma \): \[ \sigma = \frac{4}{2,12} \] \[ \sigma \approx 1,887 \] Ответ: \( \sigma \approx 1,89 \).