Решение задачи 2.4 (Вариант 1): Дискретные распределения

Задача 2.4 (Вариант 1) Часть 1: Дискретные распределения (а-в) Дано: \( M(X) = 4 \), \( D(X) = 2 \), промежуток \( [3; 5] \). а) Геометрическое распределение. Формулы: \( M(X) = \frac{1}{p} \), \( D(X) = \frac{1-p}{p^2} \). Проверим параметры: если \( M(X) = 4 \), то \( p = 0,25 \). Тогда \( D(X) = \frac{0,75}{0,0625} = 12 \). Данные условия (\( D(X)=2 \)) не подходят для классического геометрического распределения. Вероятно, в таблице даны общие характеристики для выбора одного подходящего типа или для расчёта по конкретным формулам. б) Биномиальное распределение. Формулы: \( M(X) = np \), \( D(X) = npq \). 1. \( np = 4 \) 2. \( np(1-p) = 2 \) Подставим (1) в (2): \( 4(1-p) = 2 \Rightarrow 1-p = 0,5 \Rightarrow p = 0,5 \). Тогда \( n \cdot 0,5 = 4 \Rightarrow n = 8 \). Находим вероятность \( P(3 \le X \le 5) = P(3) + P(4) + P(5) \): \[ P(k) = C_n^k p^k q^{n-k} \] \[ P(3) = C_8^3 (0,5)^8 = \frac{56}{256} = 0,21875 \] \[ P(4) = C_8^4 (0,5)^8 = \frac{70}{256} \approx 0,27344 \] \[ P(5) = C_8^5 (0,5)^8 = \frac{56}{256} = 0,21875 \] \[ P(3 \le X \le 5) = 0,21875 + 0,27344 + 0,21875 = 0,71094 \] в) Пуассоновское распределение. Для него \( M(X) = D(X) = \lambda \). У нас \( 4 \neq 2 \), значит распределение не пуассоновское. Часть 2: Непрерывные распределения (г-е) Дано: \( M(X) = 4 \), \( \sigma(X) = 4 \), промежуток \( (3; 7) \). г) Равномерное распределение. Формулы: \( M(X) = \frac{a+b}{2} \), \( \sigma(X) = \frac{b-a}{2\sqrt{3}} \). 1. \( a+b = 8 \) 2. \( b-a = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \approx 13,85 \) Система: \( b = 4 + 4\sqrt{3} \), \( a = 4 - 4\sqrt{3} \). Плотность \( f(x) = \frac{1}{b-a} = \frac{1}{8\sqrt{3}} \). \[ P(3 < X < 7) = \int_{3}^{7} \frac{1}{8\sqrt{3}} dx = \frac{7-3}{8\sqrt{3}} = \frac{4}{8\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \approx 0,2887 \] д) Показательное распределение. Для него \( M(X) = \sigma(X) = \frac{1}{\lambda} \). Условие \( M(X) = \sigma(X) = 4 \) выполняется. Значит \( \lambda = 1/4 = 0,25 \). Функция распределения: \( F(x) = 1 - e^{-\lambda x} \). \[ P(3 < X < 7) = F(7) - F(3) = (1 - e^{-0,25 \cdot 7}) - (1 - e^{-0,25 \cdot 3}) = e^{-0,75} - e^{-1,75} \] \[ P(3 < X < 7) \approx 0,4724 - 0,1738 = 0,2986 \] е) Нормальное распределение. Параметры: \( a = 4 \), \( \sigma = 4 \). \[ P(3 < X < 7) = \Phi\left(\frac{7-4}{4}\right) - \Phi\left(\frac{3-4}{4}\right) = \Phi(0,75) - \Phi(-0,25) \] \[ P(3 < X < 7) = \Phi(0,75) + \Phi(0,25) \] По таблице Лапласа: \[ P(3 < X < 7) \approx 0,2734 + 0,0987 = 0,3721 \]