Решение задачи: Определение опорных реакций и построение эпюр

Для заданной балки необходимо определить опорные реакции и построить эпюры поперечных сил \(Q\) и изгибающих моментов \(M\). Дано: \(q = 15 \, \text{кН/м}\) \(F = 10 \, \text{кН}\) \(M = 5 \, \text{кН} \cdot \text{м}\) \(a = 5 \, \text{м}\) \(b = 2 \, \text{м}\) \(c = 1 \, \text{м}\) \(d = 1 \, \text{м}\) 1. Определение опорных реакций Обозначим левую опору как \(A\), правую как \(B\). В опоре \(A\) (шарнирно-неподвижная) возникают реакции \(R_A\) и \(H_A\). Так как горизонтальных сил нет, \(H_A = 0\). В опоре \(B\) (шарнирно-подвижная) возникает реакция \(R_B\). Расстояние между опорами \(L = a + b = 5 + 2 = 7 \, \text{м}\). Общая длина балки \(L_{tot} = a + b + c + d = 5 + 2 + 1 + 1 = 9 \, \text{м}\). Составим уравнение моментов относительно точки \(A\): \[ \sum M_A = 0 \] \[ R_B \cdot (a+b) - q \cdot (a+b+c) \cdot \frac{a+b+c}{2} - F \cdot (a+b+c) - M = 0 \] Подставим значения: \[ R_B \cdot 7 - 15 \cdot 8 \cdot 4 - 10 \cdot 8 - 5 = 0 \] \[ 7 R_B - 480 - 80 - 5 = 0 \] \[ 7 R_B = 565 \] \[ R_B = 80.71 \, \text{кН} \] Составим уравнение моментов относительно точки \(B\): \[ \sum M_B = 0 \] \[ -R_A \cdot 7 + q \cdot 7 \cdot 3.5 - q \cdot 1 \cdot 0.5 - F \cdot 1 - M = 0 \] \[ -7 R_A + 15 \cdot 7 \cdot 3.5 - 15 \cdot 1 \cdot 0.5 - 10 \cdot 1 - 5 = 0 \] \[ -7 R_A + 367.5 - 7.5 - 10 - 5 = 0 \] \[ 7 R_A = 345 \] \[ R_A = 49.29 \, \text{кН} \] Проверка: \[ \sum F_y = R_A + R_B - q \cdot (a+b+c) - F = 49.29 + 80.71 - 15 \cdot 8 - 10 = 130 - 120 - 10 = 0 \] Реакции найдены верно. 2. Построение эпюры поперечных сил \(Q\) Разделим балку на участки: Участок 1 (\(0 \le x_1 \le 5\)): \[ Q_1(x_1) = R_A - q \cdot x_1 \] \[ Q_1(0) = 49.29 \, \text{кН} \] \[ Q_1(5) = 49.29 - 15 \cdot 5 = -25.71 \, \text{кН} \] Участок 2 (\(5 \le x_2 \le 7\)): \[ Q_2(x_2) = R_A - q \cdot x_2 \] \[ Q_2(5) = -25.71 \, \text{кН} \] \[ Q_2(7) = 49.29 - 15 \cdot 7 = -55.71 \, \text{кН} \] Участок 3 (\(7 \le x_3 \le 8\)): Скачок в точке \(B\) на величину \(R_B\): \[ Q_3(7) = -55.71 + 80.71 = 25 \, \text{кН} \] \[ Q_3(x_3) = R_A + R_B - q \cdot x_3 \] \[ Q_3(8) = 49.29 + 80.71 - 15 \cdot 8 = 10 \, \text{кН} \] Участок 4 (\(8 \le x_4 \le 9\)): Скачок в точке приложения \(F\): \[ Q_4(8) = 10 - 10 = 0 \, \text{кН} \] \[ Q_4(9) = 0 \, \text{кН} \] 3. Построение эпюры изгибающих моментов \(M\) Участок 1 (\(0 \le x_1 \le 5\)): \[ M_1(x_1) = R_A \cdot x_1 - \frac{q \cdot x_1^2}{2} \] \[ M_1(0) = 0 \] \[ M_1(5) = 49.29 \cdot 5 - \frac{15 \cdot 25}{2} = 246.45 - 187.5 = 58.95 \, \text{кН} \cdot \text{м} \] Максимум на 1 участке при \(Q=0\): \(x = 49.29 / 15 = 3.286 \, \text{м}\). \[ M_{max} = 49.29 \cdot 3.286 - 7.5 \cdot 3.286^2 \approx 81 \, \text{кН} \cdot \text{м} \] Участок 2 (\(5 \le x_2 \le 7\)): \[ M_2(7) = 49.29 \cdot 7 - \frac{15 \cdot 49}{2} = 345.03 - 367.5 = -22.47 \, \text{кН} \cdot \text{м} \] Участок 3 (\(7 \le x_3 \le 8\)): \[ M_3(8) = 49.29 \cdot 8 + 80.71 \cdot 1 - \frac{15 \cdot 64}{2} = 394.32 + 80.71 - 480 = -4.97 \approx -5 \, \text{кН} \cdot \text{м} \] Участок 4 (\(8 \le x_4 \le 9\)): \[ M_4(8) = -5 \, \text{кН} \cdot \text{м} \] В конце балки приложен момент \(M = 5\), который закрывает эпюру в 0. \[ M_4(9) = -5 + 5 = 0 \]