Задача 2. Зависимость пройденного материальной точкой пути от времени задается уравнением \(S = A - Bt + Ct^2 + Dt^3\) ( \(A = 6\) м, \(B = 3\) м/с, \(C = 2\) м/с2, \(D = 1\) м/с3). Определить для точки в интервале времени от \(t_1 = 1\) с до \(t_2 = 4\) с: 1) среднюю скорость; 2) среднее ускорение.
Дано:
Уравнение пути: \(S = A - Bt + Ct^2 + Dt^3\)
\(A = 6\) м
\(B = 3\) м/с
\(C = 2\) м/с2
\(D = 1\) м/с3
\(t_1 = 1\) с
\(t_2 = 4\) с
Найти:
1) Среднюю скорость (\(\langle v \rangle\))
2) Среднее ускорение (\(\langle a \rangle\))
Решение:
1. Определим среднюю скорость.
Средняя скорость определяется как отношение изменения пути к промежутку времени, за который это изменение произошло:
\[\langle v \rangle = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{S_2 - S_1}{t_2 - t_1}\]Сначала найдем путь \(S_1\) в момент времени \(t_1 = 1\) с и путь \(S_2\) в момент времени \(t_2 = 4\) с, подставив значения в уравнение пути:
\[S = A - Bt + Ct^2 + Dt^3\]Подставим числовые значения коэффициентов:
\[S = 6 - 3t + 2t^2 + 1t^3\] \[S = 6 - 3t + 2t^2 + t^3\]Вычислим \(S_1\) при \(t_1 = 1\) с:
\[S_1 = 6 - 3 \cdot (1) + 2 \cdot (1)^2 + (1)^3\] \[S_1 = 6 - 3 + 2 \cdot 1 + 1\] \[S_1 = 6 - 3 + 2 + 1\] \[S_1 = 3 + 2 + 1\] \[S_1 = 6 \text{ м}\]Вычислим \(S_2\) при \(t_2 = 4\) с:
\[S_2 = 6 - 3 \cdot (4) + 2 \cdot (4)^2 + (4)^3\] \[S_2 = 6 - 12 + 2 \cdot 16 + 64\] \[S_2 = 6 - 12 + 32 + 64\] \[S_2 = -6 + 32 + 64\] \[S_2 = 26 + 64\] \[S_2 = 90 \text{ м}\]Теперь найдем изменение пути \(\Delta S\):
\[\Delta S = S_2 - S_1 = 90 \text{ м} - 6 \text{ м} = 84 \text{ м}\]Найдем промежуток времени \(\Delta t\):
\[\Delta t = t_2 - t_1 = 4 \text{ с} - 1 \text{ с} = 3 \text{ с}\]Вычислим среднюю скорость:
\[\langle v \rangle = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{84 \text{ м}}{3 \text{ с}} = 28 \text{ м/с}\]2. Определим среднее ускорение.
Среднее ускорение определяется как отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло:
\[\langle a \rangle = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}\]Сначала нам нужно найти мгновенную скорость. Мгновенная скорость - это первая производная пути по времени:
\[v = \frac{dS}{dt}\]Найдем производную от уравнения пути \(S = 6 - 3t + 2t^2 + t^3\):
\[v = \frac{d}{dt}(6 - 3t + 2t^2 + t^3)\] \[v = 0 - 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2t + 3t^2\] \[v = -3 + 4t + 3t^2\]Теперь найдем скорость \(v_1\) в момент времени \(t_1 = 1\) с:
\[v_1 = -3 + 4 \cdot (1) + 3 \cdot (1)^2\] \[v_1 = -3 + 4 + 3 \cdot 1\] \[v_1 = -3 + 4 + 3\] \[v_1 = 1 + 3\] \[v_1 = 4 \text{ м/с}\]Найдем скорость \(v_2\) в момент времени \(t_2 = 4\) с:
\[v_2 = -3 + 4 \cdot (4) + 3 \cdot (4)^2\] \[v_2 = -3 + 16 + 3 \cdot 16\] \[v_2 = -3 + 16 + 48\] \[v_2 = 13 + 48\] \[v_2 = 61 \text{ м/с}\]Теперь найдем изменение скорости \(\Delta v\):
\[\Delta v = v_2 - v_1 = 61 \text{ м/с} - 4 \text{ м/с} = 57 \text{ м/с}\]Промежуток времени \(\Delta t\) мы уже нашли: \(\Delta t = 3\) с.
Вычислим среднее ускорение:
\[\langle a \rangle = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{57 \text{ м/с}}{3 \text{ с}} = 19 \text{ м/с}^2\]Ответ:
1) Средняя скорость: \(28\) м/с
2) Среднее ускорение: \(19\) м/с2