Решение задачи: равнозамедленное вращение вала

Вот пошаговое решение задачи: Задача 17. Вал вращается с частотой \(n = 180\) об/мин. С некоторого момента вал начал вращаться равнозамедленно с угловым ускорением \(e = 3\) рад/с\(^2\). Через какое время \(t\) вал остановится? Найти число оборотов \(N\) вала до остановки. Решение: 1. Запишем, что нам дано и что нужно найти. Дано: Начальная частота вращения \(n = 180\) об/мин Угловое ускорение \(e = 3\) рад/с\(^2\) (поскольку движение равнозамедленное, угловое ускорение будет отрицательным, то есть \(-e\)) Конечная угловая скорость \(\omega_k = 0\) (вал остановится) Найти: Время остановки \(t\) Число оборотов \(N\) до остановки 2. Переведем начальную частоту вращения из оборотов в минуту в радианы в секунду, чтобы все единицы измерения были согласованы. Начальная частота \(n = 180\) об/мин. Чтобы перевести обороты в секунду, разделим на 60: \(n = \frac{180 \text{ об}}{60 \text{ с}} = 3 \text{ об/с}\) Теперь переведем обороты в секунду в радианы в секунду. Один оборот равен \(2\pi\) радиан. Начальная угловая скорость \(\omega_0 = n \cdot 2\pi\) \(\omega_0 = 3 \text{ об/с} \cdot 2\pi \text{ рад/об} = 6\pi \text{ рад/с}\) Примем \(\pi \approx 3.14\). \(\omega_0 = 6 \cdot 3.14 \text{ рад/с} = 18.84 \text{ рад/с}\) 3. Найдем время \(t\), через которое вал остановится. Для равнозамедленного вращения формула для угловой скорости выглядит так: \(\omega_k = \omega_0 - e \cdot t\) Где \(\omega_k\) - конечная угловая скорость, \(\omega_0\) - начальная угловая скорость, \(e\) - угловое ускорение, \(t\) - время. Поскольку вал останавливается, \(\omega_k = 0\). \(0 = \omega_0 - e \cdot t\) Выразим \(t\): \(e \cdot t = \omega_0\) \(t = \frac{\omega_0}{e}\) Подставим значения: \(t = \frac{18.84 \text{ рад/с}}{3 \text{ рад/с}^2} = 6.28 \text{ с}\) 4. Найдем число оборотов \(N\) до остановки. Сначала найдем угол поворота \(\phi\) до остановки. Для равнозамедленного движения угол поворота можно найти по формуле: \(\phi = \omega_0 \cdot t - \frac{e \cdot t^2}{2}\) Подставим значения: \(\phi = 18.84 \text{ рад/с} \cdot 6.28 \text{ с} - \frac{3 \text{ рад/с}^2 \cdot (6.28 \text{ с})^2}{2}\) \(\phi = 118.3032 \text{ рад} - \frac{3 \cdot 39.4384 \text{ рад}}{2}\) \(\phi = 118.3032 \text{ рад} - \frac{118.3152 \text{ рад}}{2}\) \(\phi = 118.3032 \text{ рад} - 59.1576 \text{ рад}\) \(\phi = 59.1456 \text{ рад}\) Другой способ найти угол поворота, который часто бывает удобнее: \(\omega_k^2 = \omega_0^2 - 2 \cdot e \cdot \phi\) Поскольку \(\omega_k = 0\): \(0 = \omega_0^2 - 2 \cdot e \cdot \phi\) \(2 \cdot e \cdot \phi = \omega_0^2\) \(\phi = \frac{\omega_0^2}{2 \cdot e}\) Подставим значения: \(\phi = \frac{(18.84 \text{ рад/с})^2}{2 \cdot 3 \text{ рад/с}^2}\) \(\phi = \frac{354.9456 \text{ рад}^2/\text{с}^2}{6 \text{ рад/с}^2}\) \(\phi = 59.1576 \text{ рад}\) (Небольшая разница в последних знаках после запятой связана с округлением \(\pi\). Оба результата верны в пределах точности вычислений.) Теперь переведем угол поворота в радианах в число оборотов \(N\). Один оборот равен \(2\pi\) радиан. \(N = \frac{\phi}{2\pi}\) \(N = \frac{59.1576 \text{ рад}}{2 \cdot 3.14 \text{ рад/об}}\) \(N = \frac{59.1576}{6.28}\) \(N \approx 9.42 \text{ оборотов}\) 5. Запишем окончательный ответ. Ответ: Время, через которое вал остановится, \(t = 6.28\) с. Число оборотов вала до остановки \(N \approx 9.42\) оборотов.