Решение задачи: время и число оборотов до остановки вращающегося вала

Вот пошаговое решение задачи: Задача 17. Вал вращается с частотой \(n = 180\) об/мин. С некоторого момента вал начал вращаться равнозамедленно с угловым ускорением \(\epsilon = 3\) рад/с\(^2\). Через какое время \(t\) вал остановится? Найти число оборотов \(N\) вала до остановки. Решение: 1. Запишем, что нам дано и что нужно найти. Дано: Начальная частота вращения \(n = 180\) об/мин Угловое ускорение \(\epsilon = 3\) рад/с\(^2\) (поскольку движение равнозамедленное, угловое ускорение будет отрицательным, то есть \(\epsilon = -3\) рад/с\(^2\)) Конечная угловая скорость \(\omega_k = 0\) (вал остановится) Найти: Время остановки \(t\) Число оборотов \(N\) до остановки 2. Переведем начальную частоту вращения из оборотов в минуту в радианы в секунду. Для этого сначала переведем обороты в секунду: \(n_{с} = \frac{180 \text{ об}}{1 \text{ мин}} = \frac{180 \text{ об}}{60 \text{ с}} = 3 \text{ об/с}\) Теперь переведем обороты в секунду в радианы в секунду (угловую скорость). Один оборот равен \(2\pi\) радиан. Начальная угловая скорость \(\omega_0 = n_{с} \cdot 2\pi = 3 \text{ об/с} \cdot 2\pi \text{ рад/об} = 6\pi \text{ рад/с}\) Подставим значение \(\pi \approx 3.14\): \(\omega_0 = 6 \cdot 3.14 \text{ рад/с} = 18.84 \text{ рад/с}\) 3. Найдем время \(t\), через которое вал остановится. Для равнозамедленного вращательного движения формула для угловой скорости выглядит так: \(\omega_k = \omega_0 + \epsilon t\) Мы знаем, что вал остановится, поэтому конечная угловая скорость \(\omega_k = 0\). Угловое ускорение \(\epsilon\) отрицательное, так как движение замедленное. \(0 = \omega_0 - |\epsilon| t\) \(|\epsilon| t = \omega_0\) \(t = \frac{\omega_0}{|\epsilon|}\) Подставим значения: \(t = \frac{18.84 \text{ рад/с}}{3 \text{ рад/с}^2} = 6.28 \text{ с}\) 4. Найдем число оборотов \(N\) вала до остановки. Для этого сначала найдем угол поворота \(\Delta\phi\). Формула для угла поворота при равнозамедленном движении: \(\Delta\phi = \omega_0 t + \frac{\epsilon t^2}{2}\) Так как \(\epsilon\) отрицательное, то: \(\Delta\phi = \omega_0 t - \frac{|\epsilon| t^2}{2}\) Подставим значения: \(\Delta\phi = (18.84 \text{ рад/с}) \cdot (6.28 \text{ с}) - \frac{(3 \text{ рад/с}^2) \cdot (6.28 \text{ с})^2}{2}\) \(\Delta\phi = 118.3032 \text{ рад} - \frac{3 \cdot 39.4384 \text{ рад}}{2}\) \(\Delta\phi = 118.3032 \text{ рад} - \frac{118.3152 \text{ рад}}{2}\) \(\Delta\phi = 118.3032 \text{ рад} - 59.1576 \text{ рад}\) \(\Delta\phi = 59.1456 \text{ рад}\) Можно также использовать другую формулу, которая не зависит от времени \(t\), чтобы перепроверить: \(\omega_k^2 = \omega_0^2 + 2\epsilon\Delta\phi\) \(0^2 = \omega_0^2 - 2|\epsilon|\Delta\phi\) \(2|\epsilon|\Delta\phi = \omega_0^2\) \(\Delta\phi = \frac{\omega_0^2}{2|\epsilon|}\) Подставим значения: \(\Delta\phi = \frac{(18.84 \text{ рад/с})^2}{2 \cdot 3 \text{ рад/с}^2} = \frac{354.9456 \text{ рад}^2/\text{с}^2}{6 \text{ рад/с}^2} = 59.1576 \text{ рад}\) Небольшая разница в результатах связана с округлением \(\pi\). Будем использовать более точное значение \(\Delta\phi = 59.1576 \text{ рад}\). Теперь переведем угол поворота в радианах в число оборотов \(N\). Один оборот равен \(2\pi\) радиан. \(N = \frac{\Delta\phi}{2\pi}\) Подставим значения: \(N = \frac{59.1576 \text{ рад}}{2 \cdot 3.14 \text{ рад/об}} = \frac{59.1576}{6.28} \text{ об} \approx 9.42 \text{ об}\) Округлим до двух знаков после запятой. Ответ: Время, через которое вал остановится, \(t = 6.28\) с. Число оборотов вала до остановки \(N = 9.42\) оборотов.