Решение дифференциального уравнения y'' + 49y = 10cos7x

Решение дифференциального уравнения: \[ y'' + 49y = 10 \cos 7x \] Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение уравнения ищется в виде суммы общего решения однородного уравнения \( y_{оо} \) и частного решения неоднородного уравнения \( y_{чн} \): \[ y = y_{оо} + y_{чн} \] 1. Найдем общее решение однородного уравнения \( y'' + 49y = 0 \). Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 + 49 = 0 \] \[ k^2 = -49 \] \[ k_{1,2} = \pm 7i \] Корни чисто мнимые, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид: \[ y_{оо} = C_1 \cos 7x + C_2 \sin 7x \] 2. Найдем частное решение неоднородного уравнения \( y_{чн} \). Правая часть уравнения имеет вид \( f(x) = 10 \cos 7x \). Здесь частота правой части \( \omega = 7 \) совпадает с частотой собственных колебаний системы (так как корни характеристического уравнения \( \pm 7i \)). Это случай резонанса. Поэтому частное решение ищем в виде: \[ y_{чн} = x \cdot (A \cos 7x + B \sin 7x) \] Найдем производные: \[ y'_{чн} = (A \cos 7x + B \sin 7x) + x(-7A \sin 7x + 7B \cos 7x) \] \[ y''_{чн} = -7A \sin 7x + 7B \cos 7x - 7A \sin 7x + 7B \cos 7x + x(-49A \cos 7x - 49B \sin 7x) \] \[ y''_{чн} = -14A \sin 7x + 14B \cos 7x - 49x(A \cos 7x + B \sin 7x) \] Подставим \( y_{чн} \) и \( y''_{чн} \) в исходное уравнение: \[ -14A \sin 7x + 14B \cos 7x - 49x(A \cos 7x + B \sin 7x) + 49x(A \cos 7x + B \sin 7x) = 10 \cos 7x \] Слагаемые с \( x \) сокращаются: \[ -14A \sin 7x + 14B \cos 7x = 10 \cos 7x \] Приравняем коэффициенты при \( \sin 7x \) и \( \cos 7x \): При \( \sin 7x \): \( -14A = 0 \Rightarrow A = 0 \) При \( \cos 7x \): \( 14B = 10 \Rightarrow B = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \) Следовательно, частное решение: \[ y_{чн} = \frac{5}{7} x \sin 7x \] 3. Запишем общее решение исходного уравнения: \[ y = C_1 \cos 7x + C_2 \sin 7x + \frac{5}{7} x \sin 7x \] Ответ: \( y = C_1 \cos 7x + C_2 \sin 7x + \frac{5}{7} x \sin 7x \)