Дано:
- Усилие \(F = 30 \, \text{Н}\)
- Коэффициент Пуассона \(\mu = 0,2\)
- Радиус вдавливания (радиус индентора) \(R = 0,5 \, \text{мм} = 0,5 \cdot 10^{-3} \, \text{м}\)
- Модуль Юнга \(E = 49 \cdot 10^9 \, \text{Па}\)
Найти:
- Максимальная глубина вдавливания \(h\)
Решение:
Для решения этой задачи мы будем использовать формулы теории Герца для контактного взаимодействия упругих тел. В данном случае, это вдавливание сферического индентора в полупространство.
1. Сначала определим эффективный модуль упругости \(E^*\). Поскольку индентор вдавливается в материал, мы предполагаем, что индентор абсолютно жесткий, а деформируется только материал. В этом случае, эффективный модуль упругости для контакта сферы с полупространством определяется по формуле:
\[ \frac{1}{E^*} = \frac{1 - \mu^2}{E} \]Отсюда:
\[ E^* = \frac{E}{1 - \mu^2} \]Подставим значения:
\[ E^* = \frac{49 \cdot 10^9 \, \text{Па}}{1 - (0,2)^2} = \frac{49 \cdot 10^9 \, \text{Па}}{1 - 0,04} = \frac{49 \cdot 10^9 \, \text{Па}}{0,96} \] \[ E^* \approx 51,041666 \cdot 10^9 \, \text{Па} \]2. Далее, используем формулу для связи силы вдавливания \(F\) с радиусом контактной площадки \(a\) и глубиной вдавливания \(h\). Для сферического индентора, глубина вдавливания \(h\) связана с радиусом контактной площадки \(a\) и радиусом индентора \(R\) следующим соотношением (при малых деформациях):
\[ h = \frac{a^2}{R} \]3. Формула Герца для силы вдавливания \(F\) сферического индентора в упругое полупространство:
\[ F = \frac{4}{3} E^* \sqrt{R} h^{3/2} \]Из этой формулы мы можем выразить глубину вдавливания \(h\):
\[ h^{3/2} = \frac{3F}{4 E^* \sqrt{R}} \] \[ h = \left( \frac{3F}{4 E^* \sqrt{R}} \right)^{2/3} \]4. Подставим известные значения в формулу для \(h\):
\[ h = \left( \frac{3 \cdot 30 \, \text{Н}}{4 \cdot 51,041666 \cdot 10^9 \, \text{Па} \cdot \sqrt{0,5 \cdot 10^{-3} \, \text{м}}} \right)^{2/3} \]Сначала вычислим знаменатель:
\[ \sqrt{0,5 \cdot 10^{-3}} = \sqrt{0,0005} \approx 0,02236 \, \text{м}^{1/2} \] \[ 4 \cdot 51,041666 \cdot 10^9 \cdot 0,02236 \approx 4 \cdot 51,041666 \cdot 10^9 \cdot 0,02236 \approx 4,560 \cdot 10^9 \, \text{Па} \cdot \text{м}^{1/2} \]Теперь вычислим дробь внутри скобок:
\[ \frac{3 \cdot 30}{4,560 \cdot 10^9} = \frac{90}{4,560 \cdot 10^9} \approx 1,9737 \cdot 10^{-8} \, \text{м}^{1/2} \]Теперь возведем результат в степень \(2/3\):
\[ h = (1,9737 \cdot 10^{-8})^{2/3} \] \[ h = (1,9737)^{2/3} \cdot (10^{-8})^{2/3} \] \[ (1,9737)^{2/3} \approx 1,570 \] \[ (10^{-8})^{2/3} = 10^{-16/3} \approx 10^{-5,333} \] \[ 10^{-5,333} = 10^{-6} \cdot 10^{0,667} \approx 10^{-6} \cdot 4,64 \]Пересчитаем более точно:
\[ h = (1,9737 \cdot 10^{-8})^{2/3} \] \[ \log_{10}(h) = \frac{2}{3} \log_{10}(1,9737 \cdot 10^{-8}) \] \[ \log_{10}(1,9737 \cdot 10^{-8}) = \log_{10}(1,9737) + \log_{10}(10^{-8}) \approx 0,2953 - 8 = -7,7047 \] \[ \log_{10}(h) = \frac{2}{3} \cdot (-7,7047) \approx -5,1364 \] \[ h = 10^{-5,1364} = 10^{-6} \cdot 10^{0,8636} \] \[ 10^{0,8636} \approx 7,305 \] \[ h \approx 7,305 \cdot 10^{-6} \, \text{м} \]Переведем в микрометры:
\[ h \approx 7,305 \, \text{мкм} \]Окончательный ответ:
Максимальная глубина вдавливания составляет примерно \(7,305 \cdot 10^{-6} \, \text{м}\) или \(7,305 \, \text{мкм}\).
Проверим расчеты еще раз, чтобы убедиться в точности.
1. Эффективный модуль упругости \(E^*\):
\[ E^* = \frac{49 \cdot 10^9}{1 - (0,2)^2} = \frac{49 \cdot 10^9}{0,96} = 51041666666,67 \, \text{Па} \]2. Корень из радиуса индентора \(\sqrt{R}\):
\[ \sqrt{0,5 \cdot 10^{-3}} = \sqrt{0,0005} \approx 0,02236067977 \, \text{м}^{1/2} \]3. Вычислим выражение \(\frac{3F}{4 E^* \sqrt{R}}\):
\[ \frac{3 \cdot 30}{4 \cdot 51041666666,67 \cdot 0,02236067977} \] \[ = \frac{90}{4 \cdot 51041666666,67 \cdot 0,02236067977} \] \[ = \frac{90}{4560000000} = \frac{90}{4,56 \cdot 10^9} \approx 1,97368421 \cdot 10^{-8} \]4. Возведем в степень \(2/3\):
\[ h = (1,97368421 \cdot 10^{-8})^{2/3} \] \[ h \approx 7,305 \cdot 10^{-6} \, \text{м} \]Расчеты подтверждены.
Ответ:
Максимальная глубина вдавливания сферического индентора составляет примерно \(7,305 \cdot 10^{-6} \, \text{м}\) или \(7,305 \, \text{мкм}\).