Задача 11. Найди объём многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы прямые. Значения рядом с рёбрами показывают их длины.
Правильное решение:
Данный многогранник можно разделить на два прямоугольных параллелепипеда. Давайте внимательно посмотрим на размеры.
Способ 1: Разделение на два параллелепипеда (нижний и верхний)
1. Параллелепипед 1 (нижний, больший):
- Длина (основания) = 8
- Ширина (глубина) = 6
- Высота = 4
Объём Параллелепипеда 1:
\[V_1 = 8 \cdot 6 \cdot 4\] \[V_1 = 48 \cdot 4\] \[V_1 = 192\]2. Параллелепипед 2 (верхний, меньший, "ступенька"):
Здесь нужно быть внимательным с размерами:
- Длина = 3 (это длина верхней части "ступеньки")
- Ширина (глубина) = 6 (она такая же, как у нижнего параллелепипеда, так как многогранник цельный)
- Высота = 2 (это высота самой "ступеньки" над нижним уровнем)
Объём Параллелепипеда 2:
\[V_2 = 3 \cdot 6 \cdot 2\] \[V_2 = 18 \cdot 2\] \[V_2 = 36\]3. Общий объём многогранника:
Общий объём равен сумме объёмов двух частей:
\[V_{общий} = V_1 + V_2\] \[V_{общий} = 192 + 36\] \[V_{общий} = 228\]Способ 2: Разделение на два параллелепипеда (передний и задний)
Можно также разделить многогранник вертикальной плоскостью, проходящей через "ступеньку".
1. Параллелепипед 1 (передний, с "ступенькой"):
- Длина = 3
- Ширина (глубина) = 6
- Высота = 4 + 2 = 6 (общая высота этой части)
Объём Параллелепипеда 1:
\[V_1 = 3 \cdot 6 \cdot 6\] \[V_1 = 18 \cdot 6\] \[V_1 = 108\]2. Параллелепипед 2 (задний, оставшаяся часть):
Здесь нужно быть внимательным с длиной:
- Длина = 8 - 3 = 5 (общая длина 8, отнимаем 3, которые относятся к передней части)
- Ширина (глубина) = 6
- Высота = 4
Объём Параллелепипеда 2:
\[V_2 = 5 \cdot 6 \cdot 4\] \[V_2 = 30 \cdot 4\] \[V_2 = 120\]3. Общий объём многогранника:
Общий объём равен сумме объёмов двух частей:
\[V_{общий} = V_1 + V_2\] \[V_{общий} = 108 + 120\] \[V_{общий} = 228\]Оба способа дают одинаковый результат, что подтверждает правильность решения.
Ответ:
Объём многогранника равен 228.