Задача 12. Окружность с центром в точке \(O\) вписана в угол \(A\), касаясь его стороны в точках \(B\) и \(C\). Найди угол \(BOC\), если известно, что угол \(A = 55^\circ\).
Решение:
1. Рассмотрим четырёхугольник \(ABOC\).
2. Известно, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Это означает, что:
- Радиус \(OB\) перпендикулярен стороне угла \(AB\). Следовательно, угол \(ABO = 90^\circ\).
- Радиус \(OC\) перпендикулярен стороне угла \(AC\). Следовательно, угол \(ACO = 90^\circ\).
3. Сумма углов любого четырёхугольника равна \(360^\circ\).
4. В четырёхугольнике \(ABOC\) мы знаем три угла:
- Угол \(A = 55^\circ\) (дано).
- Угол \(ABO = 90^\circ\).
- Угол \(ACO = 90^\circ\).
5. Чтобы найти четвёртый угол, угол \(BOC\), мы вычтем сумму известных углов из \(360^\circ\).
\[\angle BOC = 360^\circ - (\angle A + \angle ABO + \angle ACO)\] \[\angle BOC = 360^\circ - (55^\circ + 90^\circ + 90^\circ)\] \[\angle BOC = 360^\circ - (55^\circ + 180^\circ)\] \[\angle BOC = 360^\circ - 235^\circ\] \[\angle BOC = 125^\circ\]Ответ:
Угол \(BOC = 125^\circ\).