Задача 16. Найди значение выражения \(2\sqrt{27} \cdot \cos 1110^\circ\).
Решение:
Для решения этого выражения нам нужно упростить каждый множитель.
Шаг 1: Упростим корень \(\sqrt{27}\).
Число 27 можно представить как произведение \(9 \cdot 3\). Так как 9 является полным квадратом (\(3^2\)), мы можем вынести 3 из-под корня:
\[\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\]Теперь подставим это в выражение:
\[2\sqrt{27} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\]Шаг 2: Упростим \(\cos 1110^\circ\).
Функция косинуса имеет период \(360^\circ\). Это означает, что \(\cos(\alpha) = \cos(\alpha + 360^\circ \cdot n)\), где \(n\) - любое целое число. Нам нужно найти, сколько полных оборотов содержится в \(1110^\circ\).
Разделим \(1110\) на \(360\):
\[1110 \div 360 = 3 \text{ с остатком}\]Найдём остаток:
\[3 \cdot 360 = 1080\] \[1110 - 1080 = 30\]Значит, \(1110^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 30^\circ\).
Следовательно:
\[\cos 1110^\circ = \cos (3 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ\]Значение \(\cos 30^\circ\) является табличным и равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
\[\cos 1110^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\]Шаг 3: Вычислим значение всего выражения.
Теперь подставим упрощённые значения обратно в исходное выражение:
\[2\sqrt{27} \cdot \cos 1110^\circ = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]Выполним умножение:
\[= \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}\]Помним, что \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\):
\[= \frac{6 \cdot 3}{2}\] \[= \frac{18}{2}\] \[= 9\]Ответ:
Значение выражения равно 9.