Решение Упражнения 26: Механическая Энергия и Закон Сохранения

Хорошо, давайте решим задачи из Упражнения 26. Упражнение 26 1. Что называется механической энергией системы? Сформулируйте закон сохранения механической энергии. Запишите его в виде уравнения. Может ли меняться с течением времени потенциальная или кинетическая энергия замкнутой системы? Ответ: Механическая энергия системы — это сумма кинетической и потенциальной энергии всех тел, входящих в систему. Закон сохранения механической энергии гласит: в замкнутой системе, где действуют только консервативные силы (например, сила тяжести, сила упругости), полная механическая энергия системы остается постоянной. Уравнение закона сохранения механической энергии: \[E_k + E_p = \text{const}\] или \[\frac{mv^2}{2} + mgh = \text{const}\] где: \(E_k\) — кинетическая энергия, \(E_p\) — потенциальная энергия, \(m\) — масса тела, \(v\) — скорость тела, \(g\) — ускорение свободного падения, \(h\) — высота тела над нулевым уровнем. Кинетическая и потенциальная энергия замкнутой системы могут меняться с течением времени. Например, при падении тела с высоты его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая увеличивается, но их сумма (полная механическая энергия) остается постоянной. 2. Оторвавшаяся от крыши сосулька падает с высоты \(h_0 = 36\) м от земли. Какую скорость она будет иметь на высоте \(h = 31\) м? (Принять \(g = 10\) м/с\(^2\)) Дано: Начальная высота \(h_0 = 36\) м Конечная высота \(h = 31\) м Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\) Начальная скорость сосульки \(v_0 = 0\) м/с (так как она оторвалась и начинает падать) Найти: Скорость \(v\) на высоте \(h\) Решение: Применим закон сохранения механической энергии. В начальный момент (на высоте \(h_0\)) сосулька имеет только потенциальную энергию, так как ее скорость равна нулю. В конечный момент (на высоте \(h\)) она имеет как потенциальную, так и кинетическую энергию. Начальная механическая энергия: \[E_{нач} = E_{k,нач} + E_{p,нач} = \frac{mv_0^2}{2} + mgh_0\] Так как \(v_0 = 0\), то \(E_{k,нач} = 0\). \[E_{нач} = mgh_0\] Конечная механическая энергия: \[E_{кон} = E_{k,кон} + E_{p,кон} = \frac{mv^2}{2} + mgh\] По закону сохранения механической энергии: \[E_{нач} = E_{кон}\] \[mgh_0 = \frac{mv^2}{2} + mgh\] Разделим все члены уравнения на массу \(m\) (она сокращается): \[gh_0 = \frac{v^2}{2} + gh\] Выразим \(v^2\): \[\frac{v^2}{2} = gh_0 - gh\] \[\frac{v^2}{2} = g(h_0 - h)\] \[v^2 = 2g(h_0 - h)\] Теперь подставим числовые значения: \[v^2 = 2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot (36 \text{ м} - 31 \text{ м})\] \[v^2 = 2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м}\] \[v^2 = 100 \text{ м}^2/\text{с}^2\] Найдем \(v\): \[v = \sqrt{100 \text{ м}^2/\text{с}^2}\] \[v = 10 \text{ м/с}\] Ответ: Скорость сосульки на высоте 31 м будет 10 м/с. 3. Шарик вылетает из детского пружинного пистолета вертикально вверх с начальной скоростью \(v_0 = 5\) м/с. На какую высоту от места вылета он поднимется? (Принять \(g = 10\) м/с\(^2\)) Дано: Начальная скорость \(v_0 = 5\) м/с Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\) Конечная скорость на максимальной высоте \(v = 0\) м/с (в верхней точке подъема шарик на мгновение останавливается) Начальная высота \(h_0 = 0\) м (принимаем место вылета за нулевой уровень) Найти: Максимальная высота подъема \(h\) Решение: Применим закон сохранения механической энергии. В начальный момент (на месте вылета) шарик имеет только кинетическую энергию, так как его высота равна нулю. В конечный момент (на максимальной высоте) он имеет только потенциальную энергию, так как его скорость равна нулю. Начальная механическая энергия: \[E_{нач} = E_{k,нач} + E_{p,нач} = \frac{mv_0^2}{2} + mgh_0\] Так как \(h_0 = 0\), то \(E_{p,нач} = 0\). \[E_{нач} = \frac{mv_0^2}{2}\] Конечная механическая энергия: \[E_{кон} = E_{k,кон} + E_{p,кон} = \frac{mv^2}{2} + mgh\] Так как \(v = 0\), то \(E_{k,кон} = 0\). \[E_{кон} = mgh\] По закону сохранения механической энергии: \[E_{нач} = E_{кон}\] \[\frac{mv_0^2}{2} = mgh\] Разделим все члены уравнения на массу \(m\) (она сокращается): \[\frac{v_0^2}{2} = gh\] Выразим \(h\): \[h = \frac{v_0^2}{2g}\] Теперь подставим числовые значения: \[h = \frac{(5 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2}\] \[h = \frac{25 \text{ м}^2/\text{с}^2}{20 \text{ м/с}^2}\] \[h = 1.25 \text{ м}\] Ответ: Шарик поднимется на высоту 1.25 м от места вылета. Задание: Придумайте и проведите опыт, наглядно демонстрирующий, что тело движется криволинейно, если скорость движения этого тела и действующая на него сила направлены под углом друг к другу. Опишите используемое оборудование, ваши действия и наблюдаемые результаты. Ответ: Опыт: Движение шарика, брошенного горизонтально. Оборудование: 1. Небольшой шарик (например, теннисный или пластилиновый). 2. Стол или любая горизонтальная поверхность, с которой можно бросить шарик. 3. Линейка или рулетка для измерения расстояний (необязательно, но полезно для анализа). Действия: 1. Положите шарик на край стола. 2. Аккуратно толкните шарик так, чтобы он начал двигаться по столу, а затем слетел с него горизонтально. Важно, чтобы начальная скорость шарика в момент отрыва от стола была направлена горизонтально. 3. Наблюдайте за траекторией движения шарика после того, как он оторвется от стола и до момента падения на пол. Наблюдаемые результаты: После того как шарик отрывается от стола, его скорость в начальный момент направлена горизонтально. Однако на него начинает действовать сила тяжести, направленная вертикально вниз. Вы увидите, что шарик не продолжает двигаться по прямой линии горизонтально, а начинает отклоняться вниз, описывая изогнутую (криволинейную) траекторию, похожую на параболу. Объяснение: В момент отрыва от стола, скорость шарика направлена горизонтально. Сила тяжести, действующая на шарик, направлена вертикально вниз. Эти два вектора (вектор скорости и вектор силы) направлены под углом друг к другу (в данном случае, под углом 90 градусов). Под действием силы тяжести, шарик начинает ускоряться вниз, при этом его горизонтальная скорость остается практически постоянной (если пренебречь сопротивлением воздуха). Сочетание постоянной горизонтальной скорости и увеличивающейся вертикальной скорости приводит к тому, что траектория движения шарика становится криволинейной. Это наглядно демонстрирует, что если скорость тела и действующая на него сила направлены под углом друг к другу, то тело движется по криволинейной траектории.