Упрощение тригонометрического выражения: (1 + tg² a) * (1/cos² a - 1/cos⁴ a) + sin a

Упростим данное тригонометрическое выражение. Наше выражение: \[ \left(1 + \text{tg}^2 a\right) \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 a} - \frac{1}{\cos^4 a}\right) + \sin a \] Шаг 1: Вспомним основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус: \[ 1 + \text{tg}^2 a = \frac{1}{\cos^2 a} \] Подставим это в наше выражение: \[ \frac{1}{\cos^2 a} \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 a} - \frac{1}{\cos^4 a}\right) + \sin a \] Шаг 2: Раскроем скобки, умножив \(\frac{1}{\cos^2 a}\) на каждый член в скобках: \[ \frac{1}{\cos^2 a} \cdot \frac{1}{\cos^2 a} - \frac{1}{\cos^2 a} \cdot \frac{1}{\cos^4 a} + \sin a \] \[ \frac{1}{\cos^4 a} - \frac{1}{\cos^6 a} + \sin a \] Шаг 3: Приведем дроби к общему знаменателю, если это возможно, или выполним дальнейшие упрощения. В данном случае, дроби уже имеют разные степени косинуса в знаменателе, и их вычитание не приведет к значительному упрощению без дополнительных преобразований. Однако, давайте перепроверим, возможно, есть другой путь. Вернемся к выражению после Шага 1: \[ \frac{1}{\cos^2 a} \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 a} - \frac{1}{\cos^4 a}\right) + \sin a \] Вынесем общий множитель \(\frac{1}{\cos^2 a}\) из скобок: \[ \frac{1}{\cos^2 a} \cdot \frac{1}{\cos^2 a} \left(1 - \frac{1}{\cos^2 a}\right) + \sin a \] \[ \frac{1}{\cos^4 a} \left(1 - \frac{1}{\cos^2 a}\right) + \sin a \] Вспомним, что \(1 - \frac{1}{\cos^2 a} = 1 - (1 + \text{tg}^2 a) = -\text{tg}^2 a\). Тогда выражение станет: \[ \frac{1}{\cos^4 a} \left(-\text{tg}^2 a\right) + \sin a \] \[ -\frac{\text{tg}^2 a}{\cos^4 a} + \sin a \] Заменим \(\text{tg}^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}\): \[ -\frac{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}}{\cos^4 a} + \sin a \] \[ -\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a \cdot \cos^4 a} + \sin a \] \[ -\frac{\sin^2 a}{\cos^6 a} + \sin a \] Это тоже не выглядит сильно проще. Давайте вернемся к Шагу 2 и посмотрим внимательнее: \[ \frac{1}{\cos^4 a} - \frac{1}{\cos^6 a} + \sin a \] Здесь нет дальнейших очевидных упрощений, если только не требуется привести к общему знаменателю или выразить через другие функции. Возможно, в задании предполагалось, что выражение должно упроститься до более компактного вида. Давайте еще раз проверим исходное выражение и первый шаг. Исходное выражение: \[ \left(1 + \text{tg}^2 a\right) \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 a} - \frac{1}{\cos^4 a}\right) + \sin a \] Используем тождество \(1 + \text{tg}^2 a = \frac{1}{\cos^2 a}\): \[ \frac{1}{\cos^2 a} \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 a} - \frac{1}{\cos^4 a}\right) + \sin a \] Вынесем \(\frac{1}{\cos^2 a}\) из скобок: \[ \frac{1}{\cos^2 a} \cdot \frac{1}{\cos^2 a} \left(1 - \frac{1}{\cos^2 a}\right) + \sin a \] \[ \frac{1}{\cos^4 a} \left(1 - \frac{1}{\cos^2 a}\right) + \sin a \] Теперь вспомним, что \(1 - \frac{1}{\cos^2 a} = 1 - (1 + \text{tg}^2 a) = -\text{tg}^2 a\). Также можно записать \(1 - \frac{1}{\cos^2 a} = \frac{\cos^2 a - 1}{\cos^2 a} = \frac{-\sin^2 a}{\cos^2 a}\). Подставим это: \[ \frac{1}{\cos^4 a} \cdot \left(-\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}\right) + \sin a \] \[ -\frac{\sin^2 a}{\cos^6 a} + \sin a \] Это и есть максимально упрощенный вид данного выражения, если нет дополнительных условий или если оно не должно было сократиться до константы или одной тригонометрической функции. Окончательный ответ: \[ \sin a - \frac{\sin^2 a}{\cos^6 a} \]