Упрощение тригонометрического выражения (1 + tg² α) * (1/cos² α - 1/cos⁴ α) + sin α

Давайте упростим данное тригонометрическое выражение. Исходное выражение: \[ \left(1 + \text{tg}^2 \alpha\right) \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \frac{1}{\cos^4 \alpha}\right) + \sin \alpha \] Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество: \[ 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \] Подставим это в наше выражение: \[ \frac{1}{\cos^2 \alpha} \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \frac{1}{\cos^4 \alpha}\right) + \sin \alpha \] Шаг 2: Вынесем общий множитель \(\frac{1}{\cos^2 \alpha}\) из скобок во второй части выражения: \[ \frac{1}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} \left(1 - \frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) + \sin \alpha \] \[ \frac{1}{\cos^4 \alpha} \left(1 - \frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) + \sin \alpha \] Шаг 3: Упростим выражение в скобках \(1 - \frac{1}{\cos^2 \alpha}\). Мы знаем, что \(1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\). Отсюда следует, что \(1 - \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 - (1 + \text{tg}^2 \alpha) = -\text{tg}^2 \alpha\). Также можно записать: \[ 1 - \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha} \] Используя основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), получаем \(\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha\). Значит, \[ 1 - \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{-\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \] Подставим это обратно в выражение: \[ \frac{1}{\cos^4 \alpha} \cdot \left(-\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right) + \sin \alpha \] Шаг 4: Выполним умножение дробей: \[ -\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^4 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} + \sin \alpha \] \[ -\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^6 \alpha} + \sin \alpha \] Шаг 5: Перепишем выражение в более привычном виде: \[ \sin \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^6 \alpha} \] Это и есть максимально упрощенный вид данного выражения. Окончательный ответ: \[ \sin \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^6 \alpha} \]