Упрощение тригонометрического выражения: решение онлайн

Хорошо, давайте упростим каждое из выражений. 1. Упростить выражение: \[ \frac{\cos^2 \alpha - 1}{1 - \sin^2 \alpha} - \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha \] Решение: Вспомним основные тригонометрические тождества: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) Отсюда: \( \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha \) \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \) Также известно, что: \( \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \) (при условии, что \( \alpha \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} \)) Подставим эти тождества в исходное выражение: \[ \frac{-\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 \] Мы знаем, что \( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha \). Значит, \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{tg}^2 \alpha \). Тогда выражение примет вид: \[ -\operatorname{tg}^2 \alpha - 1 \] Это можно записать как: \[ -(1 + \operatorname{tg}^2 \alpha) \] Используя тождество \( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \), получаем: \[ -\frac{1}{\cos^2 \alpha} \] Ответ: \( -\frac{1}{\cos^2 \alpha} \) 2. Упростить выражение: \[ \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha \] Решение: Вспомним определение котангенса: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) (при условии, что \( \sin \alpha \neq 0 \)) Подставим это в исходное выражение: \[ \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \] Сократим \( \sin \alpha \) (при условии, что \( \sin \alpha \neq 0 \)): \[ \cos \alpha \cdot \cos \alpha \] \[ \cos^2 \alpha \] Ответ: \( \cos^2 \alpha \) 3. Упростить выражение: \[ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} + \operatorname{ctg} \alpha \] Решение: Заменим \( \operatorname{ctg} \alpha \) на \( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \): \[ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \] Так как знаменатели одинаковые, можем сложить числители: \[ \frac{1 - \cos \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha} \] \[ \frac{1}{\sin \alpha} \] Ответ: \( \frac{1}{\sin \alpha} \) 4. Упростить выражение: \[ \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} \] Решение: Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) \). Это разность квадратов: \( (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = 1^2 - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \). Из основного тригонометрического тождества \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \). Теперь приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{\cos \alpha (1 + \sin \alpha)}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} + \frac{\cos \alpha (1 - \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)} \] \[ \frac{\cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha + \cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} \] В числителе \( \cos \alpha \sin \alpha \) и \( -\cos \alpha \sin \alpha \) взаимно уничтожаются: \[ \frac{2 \cos \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} \] Заменим \( 1 - \sin^2 \alpha \) на \( \cos^2 \alpha \): \[ \frac{2 \cos \alpha}{\cos^2 \alpha} \] Сократим \( \cos \alpha \) (при условии, что \( \cos \alpha \neq 0 \)): \[ \frac{2}{\cos \alpha} \] Ответ: \( \frac{2}{\cos \alpha} \) 5. Упростить выражение: \[ \frac{\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha - \cos \alpha}{\sin^2 \alpha} \] Решение: Вспомним, что \( \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \) (при условии, что \( \alpha \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} \)). Подставим это в числитель: \[ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin^2 \alpha} \] Это выражение уже достаточно упрощено. Если нет дополнительных условий или целей для дальнейшего упрощения, то это и есть ответ. Иногда \( \sin^2 \alpha \) можно заменить на \( 1 - \cos^2 \alpha \), но это не всегда приводит к более простому виду. \[ \frac{1 - \cos \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} \] Знаменатель можно разложить как разность квадратов: \( 1 - \cos^2 \alpha = (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) \). \[ \frac{1 - \cos \alpha}{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)} \] Сократим \( (1 - \cos \alpha) \) (при условии, что \( 1 - \cos \alpha \neq 0 \), то есть \( \cos \alpha \neq 1 \)): \[ \frac{1}{1 + \cos \alpha} \] Ответ: \( \frac{1}{1 + \cos \alpha} \) (при условии, что \( \cos \alpha \neq 1 \))