Решение задачи: Глубина погружения Буратино и колебания пружины

Дано: \(l_0 = 6\) см \(= 0,06\) м \(\Delta l = 2\) см \(= 0,02\) м \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\) (или \(10\) м/с\(^2\) для упрощения расчетов) Найти: 1. \(T_{верт}\) — ? 2. \(\frac{T_{верт}}{T_{гор}}\) — ? Решение: 1. Найдем период вертикальных колебаний пружинного маятника. В состоянии покоя сила тяжести уравновешивается силой упругости: \[mg = k \Delta l\] Отсюда отношение массы к жесткости пружины: \[\frac{m}{k} = \frac{\Delta l}{g}\] Формула периода вертикальных колебаний пружинного маятника: \[T_{верт} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\] Подставим полученное выражение для \(\frac{m}{k}\): \[T_{верт} = 2\pi \sqrt{\frac{\Delta l}{g}}\] Подставим значения (используем \(g = 9,8\) м/с\(^2\) для точности): \[T_{верт} = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{0,02}{9,8}} \approx 6,28 \cdot \sqrt{0,00204} \approx 6,28 \cdot 0,045 \approx 0,28 \text{ с}\] 2. Найдем отношение периодов. Под «горизонтальными колебаниями» в данной системе (закрепленной в одной точке) обычно подразумевают малые колебания системы как математического маятника (качания в плоскости). Длина такого маятника в положении равновесия: \[L = l_0 + \Delta l = 6 + 2 = 8 \text{ см} = 0,08 \text{ м}\] Период колебаний математического маятника: \[T_{гор} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\] Найдем отношение периодов: \[\frac{T_{верт}}{T_{гор}} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{\Delta l}{g}}}{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}} = \sqrt{\frac{\Delta l}{L}}\] Подставим значения: \[\frac{T_{верт}}{T_{гор}} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0,5\] Ответ: 1. Период вертикальных колебаний \(T_{верт} \approx 0,28\) с. 2. Отношение периодов \(\frac{T_{верт}}{T_{гор}} = 0,5\).