Решение задачи: глубина погружения Буратино

Дано: \(L = 1000\) м — начальное расстояние \(v_1 = 25\) м/с — скорость первой точки \(v_2 = 35\) м/с — скорость второй точки \(\alpha = 35^\circ\) — угол направления второй точки \(t = 0\) — время начала движения Найти: \(d_{min}\) — минимальное расстояние. Решение: 1. Расположим начало координат в начальной позиции первой точки. Тогда вторая точка в момент \(t=0\) находится в координатах \((L, 0)\). Первая точка движется вдоль оси \(X\) в сторону второй точки. Ее координаты в момент времени \(t\): \[x_1(t) = v_1 t\] \[y_1(t) = 0\] 2. Вторая точка движется из точки \((L, 0)\) под углом \(\alpha\) к направлению на первую точку. Поскольку направление «на первую точку» — это отрицательное направление оси \(X\), то угол вектора скорости \(v_2\) с положительным направлением оси \(X\) составит \(180^\circ - 35^\circ = 145^\circ\). Координаты второй точки в момент времени \(t\): \[x_2(t) = L + v_2 \cos(180^\circ - \alpha) \cdot t = L - v_2 \cos \alpha \cdot t\] \[y_2(t) = v_2 \sin(180^\circ - \alpha) \cdot t = v_2 \sin \alpha \cdot t\] 3. Квадрат расстояния между точками \(d^2\) определяется по формуле: \[d^2(t) = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\] \[d^2(t) = (L - v_2 \cos \alpha \cdot t - v_1 t)^2 + (v_2 \sin \alpha \cdot t)^2\] \[d^2(t) = (L - (v_1 + v_2 \cos \alpha)t)^2 + (v_2 \sin \alpha \cdot t)^2\] 4. Чтобы найти минимум, раскроем скобки и представим выражение как квадратичную функцию относительно \(t\): \[d^2(t) = L^2 - 2L(v_1 + v_2 \cos \alpha)t + (v_1 + v_2 \cos \alpha)^2 t^2 + (v_2 \sin \alpha)^2 t^2\] Сгруппируем коэффициенты при \(t^2\): \[(v_1 + v_2 \cos \alpha)^2 + (v_2 \sin \alpha)^2 = v_1^2 + 2v_1 v_2 \cos \alpha + v_2^2 \cos^2 \alpha + v_2^2 \sin^2 \alpha = v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 v_2 \cos \alpha\] Это квадрат относительной скорости \(v_{отн}^2\). 5. Минимум квадратичной функции \(f(t) = At^2 - Bt + C\) достигается в вершине параболы при \(t = \frac{B}{2A}\): \[t_{min} = \frac{2L(v_1 + v_2 \cos \alpha)}{2(v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 v_2 \cos \alpha)} = \frac{L(v_1 + v_2 \cos \alpha)}{v_{отн}^2}\] 6. Подставим \(t_{min}\) обратно в уравнение для \(d^2\). Минимальное расстояние вычисляется по формуле: \[d_{min} = \frac{L \cdot v_2 \sin \alpha}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 v_2 \cos \alpha}}\] 7. Выполним расчеты: \(\cos 35^\circ \approx 0,819\) \(\sin 35^\circ \approx 0,574\) \[v_{отн} = \sqrt{25^2 + 35^2 + 2 \cdot 25 \cdot 35 \cdot 0,819} = \sqrt{625 + 1225 + 1433,25} = \sqrt{3283,25} \approx 57,3 \text{ м/с}\] \[d_{min} = \frac{1000 \cdot 35 \cdot 0,574}{57,3} = \frac{20090}{57,3} \approx 350,6 \text{ м}\] Ответ: Минимальное расстояние между точками составит примерно 350,6 метров.