Признак Лейбница: решение задачи о знакочередующихся рядах

Признак Лейбница используется для определения сходимости знакочередующихся числовых рядов. Ниже представлено краткое и понятное изложение теории, которое удобно переписать в тетрадь. Определение знакочередующегося ряда: Знакочередующимся называется ряд вида: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dots + (-1)^{n-1} a_n + \dots \] где все \( a_n > 0 \). Теорема (Признак Лейбница): Если для знакочередующегося ряда выполняются два условия: 1. Последовательность модулей членов ряда является монотонно убывающей: \[ a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge \dots \ge a_n \ge \dots \] 2. Предел общего члена ряда при \( n \), стремящемся к бесконечности, равен нулю: \[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \] Тогда данный ряд сходится. При этом его сумма \( S \) положительна и не превосходит первого члена ряда: \( 0 < S \le a_1 \). Следствие (Оценка остатка ряда): Если ряд сходится по признаку Лейбница, то абсолютная величина остатка ряда \( R_n \) после \( n \)-го члена не превышает модуля первого из отброшенных членов: \[ |R_n| \le a_{n+1} \] Пример применения: Рассмотрим ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots \] Проверим условия Лейбница: 1. \( 1 > \frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \dots \) (условие убывания модулей выполнено). 2. \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \) (предел равен нулю). Вывод: Ряд сходится по признаку Лейбница.