Решение: Исследование ряда Лейбница с общим членом n^(2/3)

Рассмотрим ряд с общим членом \( a_n = n^{2/3} \). Для того чтобы исследовать этот вопрос, нужно уточнить, о каком именно ряде идет речь. 1. Если рассматривается числовой ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} n^{2/3} = 1 + 2^{2/3} + 3^{2/3} + \dots \] Данный ряд является расходящимся, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда: \[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} n^{2/3} = \infty \neq 0 \] 2. Если рассматривается знакочередующийся ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n^{2/3} = 1 - 2^{2/3} + 3^{2/3} - 4^{2/3} + \dots \] Для проверки сходимости применим признак Лейбница. Проверим второе условие признака: \[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} n^{2/3} = \infty \] Так как предел общего члена не равен нулю, условие Лейбница не выполняется. Более того, такой ряд расходится, так как предел общего члена не существует (члены ряда неограниченно растут по модулю, чередуя знак). 3. Если рассматривается обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле) в знаменателе: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2/3}} \] Этот ряд является расходящимся, так как это ряд вида: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \] где \( p = 2/3 \). По теории рядов Дирихле, такой ряд сходится только при \( p > 1 \). Так как \( \frac{2}{3} < 1 \), ряд расходится. 4. Если рассматривается знакочередующийся ряд с \( n^{2/3} \) в знаменателе: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2/3}} \] Проверим условия Лейбница для \( a_n = \frac{1}{n^{2/3}} \): 1) Условие убывания: \( \frac{1}{1^{2/3}} > \frac{1}{2^{2/3}} > \frac{1}{3^{2/3}} \dots \) — выполняется. 2) Предел общего члена: \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2/3}} = 0 \) — выполняется. Вывод: Такой ряд сходится по признаку Лейбница (сходится условно).