Решение: Исследование ряда 1/n^(2/3) по признаку Лейбница

Рассмотрим ряд с общим членом \( a_n = \frac{1}{n^{2/3}} \). Исследование зависит от того, является ли ряд знакопостоянным или знакочередующимся. 1. Знакопостоянный ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2/3}} = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^2}} + \dots \] Это обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле) вида \( \sum \frac{1}{n^p} \), где \( p = \frac{2}{3} \). Известно, что такой ряд: — сходится при \( p > 1 \); — расходится при \( p \le 1 \). Так как \( \frac{2}{3} < 1 \), данный ряд расходится. 2. Знакочередующийся ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2/3}} = 1 - \frac{1}{2^{2/3}} + \frac{1}{3^{2/3}} - \dots \] Для этого ряда применим признак Лейбница. Проверим два условия: 1) Условие монотонного убывания модулей членов ряда: \[ a_n = \frac{1}{n^{2/3}} \] Так как знаменатель \( n^{2/3} \) растет с увеличением \( n \), то сама дробь уменьшается: \[ 1 > \frac{1}{2^{2/3}} > \frac{1}{3^{2/3}} > \dots > \frac{1}{n^{2/3}} > \dots \] Условие \( a_n > a_{n+1} \) выполняется. 2) Необходимый признак сходимости (предел общего члена): \[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2/3}} = 0 \] Условие выполняется, так как единица, деленная на бесконечно большую величину, стремится к нулю. Вывод: Так как оба условия признака Лейбница выполнены, знакочередующийся ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2/3}} \) сходится. Тип сходимости: Поскольку сам ряд сходится, но ряд из его модулей \( \sum \frac{1}{n^{2/3}} \) расходится (как показано в пункте 1), то данный ряд сходится условно.