Ряд Лейбница и Кратный Интеграл: Решение Задачи

Кратный интеграл — это обобщение понятия определенного интеграла на случай функций нескольких переменных (двух, трех и более). Если отвечать на ваш вопрос кратко: кратный интеграл — это не просто произведение интегралов, а интеграл, который берется по некоторой многомерной области (площади, объему). Однако для его вычисления чаще всего используется сведение к повторным интегралам (интеграл внутри интеграла). Ниже приведено описание, которое удобно переписать в тетрадь: Определение: Кратным интегралом называется интеграл от функции нескольких переменных \( f(x, y, \dots, z) \), взятый по некоторой области \( D \). В зависимости от размерности области он называется двойным, тройным и так далее. 1. Двойной интеграл (по области \( D \) на плоскости): \[ \iint_D f(x, y) \, dx dy \] 2. Тройной интеграл (по объему \( V \) в пространстве): \[ \iiint_V f(x, y, z) \, dx dy dz \] Связь с повторными интегралами: Кратный интеграл обычно вычисляется путем перехода к повторному интегралу. Это выглядит как «интеграл внутри интеграла». Например, для прямоугольной области \( D = [a, b] \times [c, d] \): \[ \iint_D f(x, y) \, dx dy = \int_a^b \left( \int_c^d f(x, y) \, dy \right) dx \] Здесь сначала вычисляется внутренний интеграл по \( y \) (при этом \( x \) считается константой), а затем результат интегрируется по \( x \). Является ли он произведением интегралов? Кратный интеграл равен произведению двух обычных интегралов только в одном частном случае: 1. Область интегрирования является прямоугольником (или параллелепипедом). 2. Функция может быть представлена как произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной: \( f(x, y) = g(x) \cdot h(y) \). В этом случае: \[ \iint_D g(x)h(y) \, dx dy = \left( \int_a^b g(x) \, dx \right) \cdot \left( \int_c^d h(y) \, dy \right) \] В общем же случае, когда переменные в функции или в границах области перемешаны, кратный интеграл нельзя представить как простое произведение. Резюме для тетради: Кратный интеграл — это интеграл по многомерной области. Технически он вычисляется как последовательность вложенных друг в друга (повторных) интегралов. Произведением интегралов он становится только при разделении переменных в функции и границах.