Решение задачи: Угол A в прямоугольном треугольнике ABC с высотой CD

Дано: Треугольник ABC — прямоугольный (\( \angle C = 90^\circ \)) CD — высота (\( CD \perp AB \)) BD = 6 BC = 12 Найти: \( \angle A \) Решение: 1. Рассмотрим треугольник BDC. Так как CD — высота, то треугольник BDC является прямоугольным (\( \angle CDB = 90^\circ \)). 2. В прямоугольном треугольнике BDC нам известны гипотенуза BC = 12 и катет BD = 6. 3. Заметим, что катет BD в два раза меньше гипотенузы BC: \[ \frac{BD}{BC} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \] 4. По свойству прямоугольного треугольника, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен \( 30^\circ \). В треугольнике BDC против катета BD лежит угол BCD. Следовательно: \[ \angle BCD = 30^\circ \] 5. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^\circ \), найдем угол B: \[ \angle B = 90^\circ - \angle BCD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] 6. Теперь рассмотрим исходный большой треугольник ABC. Он прямоугольный по условию (\( \angle C = 90^\circ \)). Сумма его острых углов A и B также равна \( 90^\circ \): \[ \angle A + \angle B = 90^\circ \] \[ \angle A = 90^\circ - \angle B \] \[ \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \] Ответ: \( \angle A = 30^\circ \)