Задача о дефектных деталях: решение и анализ

Дано: Всего деталей в ящике: \( N = 30 \) Количество дефектных деталей: \( M = 6 \) Количество стандартных деталей: \( 30 - 6 = 24 \) Количество извлекаемых деталей: \( n = 7 \) Событие А: среди 7 деталей ровно 2 дефектные. Событие В: среди 7 деталей ровно 3 дефектные. Решение: Для вычисления вероятностей используем классическое определение вероятности и формулу сочетаний: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] 1. Вероятность события А: Общее число способов выбрать 7 деталей из 30: \( C_{30}^7 \). Число способов выбрать 2 дефектные детали из 6: \( C_6^2 \). Число способов выбрать остальные 5 стандартных деталей из 24: \( C_{24}^5 \). \[ P(A) = \frac{C_6^2 \cdot C_{24}^5}{C_{30}^7} \] 2. Вероятность события В: Число способов выбрать 3 дефектные детали из 6: \( C_6^3 \). Число способов выбрать остальные 4 стандартные детали из 24: \( C_{24}^4 \). \[ P(B) = \frac{C_6^3 \cdot C_{24}^4}{C_{30}^7} \] 3. Найдем отношение вероятностей \( \frac{P(A)}{P(B)} \): \[ \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{C_6^2 \cdot C_{24}^5}{C_{30}^7} : \frac{C_6^3 \cdot C_{24}^4}{C_{30}^7} = \frac{C_6^2 \cdot C_{24}^5}{C_6^3 \cdot C_{24}^4} \] Распишем сочетания: \[ C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{1 \cdot 2} = 15 \] \[ C_6^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 20 \] \[ \frac{C_{24}^5}{C_{24}^4} = \frac{24!}{5! \cdot 19!} \cdot \frac{4! \cdot 20!}{24!} = \frac{4!}{5!} \cdot \frac{20!}{19!} = \frac{1}{5} \cdot 20 = 4 \] Подставим значения в отношение: \[ \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{15}{20} \cdot 4 = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3 \] Ответ: Вероятность того, что выпадет ровно две дефектные детали, в 3 раза больше вероятности того, что выпадет ровно три дефектные детали.