Решение задачи №2 Вариант 10: Расчет диаметра молекулы

Хорошо, давайте решим задачу для варианта 10. Задача 2. V литров некоторого газообразного вещества X адсорбируется на твердом адсорбенте Y массой m грамм. Удельная поверхность адсорбента составляет Sуд. Диаметр молекулы X равен d0. Процесс адсорбции изучался при температуре T и давлении P. Для своего варианта рассчитайте параметр обозначенный знаком вопроса. Таблица данных: Вариант: 10 T, °C: 15 P, атм: 1,2 Sуд, м\(^2\): 920 m (адсорбента), г: 10 d0, Å: ? V, л: 1,53 Нам нужно найти диаметр молекулы X, d0, в Ангстремах (Å). Для решения этой задачи нам понадобятся следующие формулы и константы: 1. Объем газа при стандартных условиях (н.у.): 1 моль любого газа при н.у. (0 °C и 1 атм) занимает объем 22,4 л. 2. Уравнение Менделеева-Клапейрона для пересчета объема газа при заданных условиях к стандартным: \[ \frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2} \] где \(P\) - давление, \(V\) - объем, \(T\) - температура в Кельвинах. 3. Число Авогадро: \(N_A = 6,022 \cdot 10^{23}\) моль\(^{-1}\). 4. Площадь, занимаемая одной молекулой: \(S_m = \frac{\pi d_0^2}{4}\) (если считать молекулу сферической и адсорбирующейся одной стороной) или \(S_m = d_0^2\) (если считать молекулу кубической или просто как площадь проекции). В задачах такого типа часто используется \(S_m = d_0^2\). Будем использовать \(S_m = d_0^2\). 5. Общая площадь поверхности адсорбента: \(S_{общ} = S_{уд} \cdot m\). 6. Количество молекул, адсорбированных на поверхности: \(N = \frac{S_{общ}}{S_m}\). 7. Количество молей адсорбированного газа: \(n = \frac{N}{N_A}\). 8. Объем адсорбированного газа при заданных условиях: \(V = n \cdot V_{молярный}\), где \(V_{молярный}\) - молярный объем газа при данных условиях. Давайте пошагово решим задачу. Шаг 1: Переведем температуру из градусов Цельсия в Кельвины. Температура \(T_1 = 15 \text{ °C} = 15 + 273,15 = 288,15 \text{ К}\). Шаг 2: Найдем количество молей адсорбированного газа. Для этого нам нужно привести объем газа к стандартным условиям (н.у.), чтобы использовать молярный объем 22,4 л/моль. Стандартные условия: \(T_0 = 0 \text{ °C} = 273,15 \text{ К}\), \(P_0 = 1 \text{ атм}\). Используем уравнение Менделеева-Клапейрона: \[ \frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_0 V_0}{T_0} \] Отсюда выразим \(V_0\): \[ V_0 = \frac{P_1 V_1 T_0}{P_0 T_1} \] Подставим известные значения: \(P_1 = 1,2 \text{ атм}\) \(V_1 = 1,53 \text{ л}\) \(T_1 = 288,15 \text{ К}\) \(P_0 = 1 \text{ атм}\) \(T_0 = 273,15 \text{ К}\) \[ V_0 = \frac{1,2 \text{ атм} \cdot 1,53 \text{ л} \cdot 273,15 \text{ К}}{1 \text{ атм} \cdot 288,15 \text{ К}} \] \[ V_0 = \frac{501,6696}{288,15} \approx 1,7409 \text{ л} \] Теперь найдем количество молей \(n\): \[ n = \frac{V_0}{22,4 \text{ л/моль}} \] \[ n = \frac{1,7409 \text{ л}}{22,4 \text{ л/моль}} \approx 0,07772 \text{ моль} \] Шаг 3: Найдем общее количество адсорбированных молекул \(N\). \[ N = n \cdot N_A \] \[ N = 0,07772 \text{ моль} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \] \[ N \approx 4,680 \cdot 10^{22} \text{ молекул} \] Шаг 4: Найдем общую площадь поверхности адсорбента \(S_{общ}\). \[ S_{общ} = S_{уд} \cdot m \] \(S_{уд} = 920 \text{ м}^2\) \(m = 10 \text{ г}\) \[ S_{общ} = 920 \text{ м}^2 \cdot 10 \text{ г} = 9200 \text{ м}^2 \] Шаг 5: Найдем площадь, занимаемую одной молекулой \(S_m\). Предполагаем, что вся поверхность адсорбента покрыта монослоем молекул X. \[ S_m = \frac{S_{общ}}{N} \] Переведем \(S_{общ}\) в квадратные Ангстремы, так как \(d_0\) дано в Ангстремах. \(1 \text{ м} = 10^{10} \text{ Å}\), поэтому \(1 \text{ м}^2 = (10^{10} \text{ Å})^2 = 10^{20} \text{ Å}^2\). \[ S_{общ} = 9200 \text{ м}^2 = 9200 \cdot 10^{20} \text{ Å}^2 = 9,2 \cdot 10^{23} \text{ Å}^2 \] Теперь рассчитаем \(S_m\): \[ S_m = \frac{9,2 \cdot 10^{23} \text{ Å}^2}{4,680 \cdot 10^{22} \text{ молекул}} \] \[ S_m \approx 19,658 \text{ Å}^2/\text{молекулу} \] Шаг 6: Найдем диаметр молекулы \(d_0\). Используем формулу \(S_m = d_0^2\). \[ d_0^2 = 19,658 \text{ Å}^2 \] \[ d_0 = \sqrt{19,658 \text{ Å}^2} \] \[ d_0 \approx 4,433 \text{ Å} \] Округлим до одного знака после запятой, как это часто бывает в подобных задачах, или до двух, если требуется большая точность. Давайте округлим до двух знаков после запятой. Ответ: Диаметр молекулы X, \(d_0\), составляет примерно 4,43 Å. Запишем решение в тетрадь: Решение задачи для варианта 10. Дано: Температура \(T = 15 \text{ °C}\) Давление \(P = 1,2 \text{ атм}\) Удельная поверхность адсорбента \(S_{уд} = 920 \text{ м}^2\) Масса адсорбента \(m = 10 \text{ г}\) Объем адсорбированного газа \(V = 1,53 \text{ л}\) Найти: Диаметр молекулы \(d_0\), Å 1. Переведем температуру в Кельвины: \(T_1 = 15 \text{ °C} + 273,15 = 288,15 \text{ К}\) 2. Пересчитаем объем газа к стандартным условиям (н.у.): Стандартные условия: \(T_0 = 0 \text{ °C} = 273,15 \text{ К}\), \(P_0 = 1 \text{ атм}\). Используем уравнение Менделеева-Клапейрона: \[ \frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_0 V_0}{T_0} \] Выразим \(V_0\): \[ V_0 = \frac{P_1 V_1 T_0}{P_0 T_1} \] Подставим значения: \[ V_0 = \frac{1,2 \text{ атм} \cdot 1,53 \text{ л} \cdot 273,15 \text{ К}}{1 \text{ атм} \cdot 288,15 \text{ К}} \] \[ V_0 = \frac{501,6696}{288,15} \approx 1,7409 \text{ л} \] 3. Найдем количество молей адсорбированного газа \(n\): Молярный объем газа при н.у. равен 22,4 л/моль. \[ n = \frac{V_0}{22,4 \text{ л/моль}} \] \[ n = \frac{1,7409 \text{ л}}{22,4 \text{ л/моль}} \approx 0,07772 \text{ моль} \] 4. Найдем общее количество адсорбированных молекул \(N\): Используем число Авогадро \(N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}\). \[ N = n \cdot N_A \] \[ N = 0,07772 \text{ моль} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \] \[ N \approx 4,680 \cdot 10^{22} \text{ молекул} \] 5. Найдем общую площадь поверхности адсорбента \(S_{общ}\): \[ S_{общ} = S_{уд} \cdot m \] \[ S_{общ} = 920 \text{ м}^2/\text{г} \cdot 10 \text{ г} = 9200 \text{ м}^2 \] 6. Переведем общую площадь поверхности в квадратные Ангстремы: \(1 \text{ м} = 10^{10} \text{ Å}\), следовательно \(1 \text{ м}^2 = 10^{20} \text{ Å}^2\). \[ S_{общ} = 9200 \text{ м}^2 \cdot 10^{20} \text{ Å}^2/\text{м}^2 = 9,2 \cdot 10^{23} \text{ Å}^2 \] 7. Найдем площадь, занимаемую одной молекулой \(S_m\): Предполагаем, что молекулы образуют монослой на поверхности. \[ S_m = \frac{S_{общ}}{N} \] \[ S_m = \frac{9,2 \cdot 10^{23} \text{ Å}^2}{4,680 \cdot 10^{22} \text{ молекул}} \] \[ S_m \approx 19,658 \text{ Å}^2/\text{молекулу} \] 8. Найдем диаметр молекулы \(d_0\): Предполагаем, что площадь, занимаемая одной молекулой, равна квадрату ее диаметра: \(S_m = d_0^2\). \[ d_0^2 = 19,658 \text{ Å}^2 \] \[ d_0 = \sqrt{19,658 \text{ Å}^2} \] \[ d_0 \approx 4,433 \text{ Å} \] Округлим до двух знаков после запятой. Ответ: Диаметр молекулы X, \(d_0\), составляет 4,43 Å.