Решение задачи: Удельная поверхностная адсорбция муравьиной кислоты (Вариант 10)

Хорошо, решаем задачу для варианта 10. Задача 1. Изучено поведение поверхностного натяжения \(\sigma\) растворов некоторых ПАВ от концентрации \(C\). С использованием представленных в таблице данных для своего варианта графическим способом рассчитайте удельную поверхностную адсорбцию \(\Gamma\) (ммоль/м\(^2\)) при концентрации \(C_x\). Для варианта 10: Вещество: Муравьиная кислота Формула: \(CH_2O_2\) Температура: 15 °C Концентрация \(C_x\): 0,02 моль/л Таблица данных для муравьиной кислоты (строка 10): Концентрация \(C\), моль/л: 0 0,01 0,02 0,03 0,06 0,1 0,2 Поверхностное натяжение \(\sigma\), мН/м: 73,5 73,1 72,8 72,5 71,8 71,2 70,0 Для расчета удельной поверхностной адсорбции \(\Gamma\) графическим способом используется уравнение Гиббса: \[\Gamma = -\frac{1}{RT} \left( \frac{d\sigma}{d\ln C} \right)_T\] где: \(\Gamma\) – удельная поверхностная адсорбция (ммоль/м\(^2\)) \(R\) – универсальная газовая постоянная (8,314 Дж/(моль·К) или 8,314 мДж/(ммоль·К), так как 1 Дж = 1000 мДж и 1 моль = 1000 ммоль) \(T\) – абсолютная температура (К) \(\sigma\) – поверхностное натяжение (мН/м) \(C\) – концентрация (моль/л) Сначала переведем температуру в Кельвины: \(T = 15^\circ C + 273,15 = 288,15\) К Для графического определения \(\left( \frac{d\sigma}{d\ln C} \right)_T\) необходимо построить график зависимости \(\sigma\) от \(\ln C\). Рассчитаем значения \(\ln C\) для каждой концентрации: \(C\) (моль/л) | \(\ln C\) ---|--- 0,01 | \(\ln(0,01) = -4,605\) 0,02 | \(\ln(0,02) = -3,912\) 0,03 | \(\ln(0,03) = -3,507\) 0,06 | \(\ln(0,06) = -2,813\) 0,1 | \(\ln(0,1) = -2,303\) 0,2 | \(\ln(0,2) = -1,609\) Теперь составим таблицу для построения графика \(\sigma\) от \(\ln C\): \(\ln C\) | \(\sigma\) (мН/м) ---|--- -4,605 | 73,1 -3,912 | 72,8 -3,507 | 72,5 -2,813 | 71,8 -2,303 | 71,2 -1,609 | 70,0 Построим график зависимости \(\sigma\) от \(\ln C\). Ось X будет \(\ln C\), ось Y будет \(\sigma\). (В тетради нужно начертить график. Отметьте точки и соедините их плавной кривой. Поскольку точки лежат почти на прямой, можно провести прямую линию, аппроксимирующую эти точки). Нам нужно найти \(\left( \frac{d\sigma}{d\ln C} \right)_T\) при концентрации \(C_x = 0,02\) моль/л, что соответствует \(\ln C_x = \ln(0,02) = -3,912\). На графике найдите точку, соответствующую \(\ln C = -3,912\). В этой точке проведите касательную к кривой \(\sigma(\ln C)\). Тангенс угла наклона этой касательной к оси \(\ln C\) и будет значением \(\frac{d\sigma}{d\ln C}\). Поскольку данные достаточно близки к линейной зависимости, можно приближенно рассчитать наклон как средний наклон между соседними точками или использовать линейную аппроксимацию. Давайте возьмем две точки, ближайшие к \(\ln C = -3,912\), или используем интерполяцию. Точки: 1. \((\ln C_1, \sigma_1) = (-4,605, 73,1)\) 2. \((\ln C_2, \sigma_2) = (-3,912, 72,8)\) 3. \((\ln C_3, \sigma_3) = (-3,507, 72,5)\) Рассчитаем наклон между точками 1 и 2: \(\frac{\Delta\sigma}{\Delta\ln C} = \frac{72,8 - 73,1}{-3,912 - (-4,605)} = \frac{-0,3}{0,693} \approx -0,433\) Рассчитаем наклон между точками 2 и 3: \(\frac{\Delta\sigma}{\Delta\ln C} = \frac{72,5 - 72,8}{-3,507 - (-3,912)} = \frac{-0,3}{0,405} \approx -0,741\) Поскольку нам нужно значение при \(\ln C = -3,912\), которое является одной из точек, мы можем оценить наклон, взяв среднее значение наклонов до и после этой точки, или просто использовать наклон вблизи этой точки. Если мы построим график, то увидим, что зависимость почти линейная. Давайте возьмем две точки, которые охватывают \(C_x = 0,02\) моль/л, например, \(C = 0,01\) и \(C = 0,03\). \(\ln C_1 = \ln(0,01) = -4,605\), \(\sigma_1 = 73,1\) \(\ln C_2 = \ln(0,03) = -3,507\), \(\sigma_2 = 72,5\) Тогда приближенное значение \(\frac{d\sigma}{d\ln C}\) будет: \[\frac{d\sigma}{d\ln C} \approx \frac{\sigma_2 - \sigma_1}{\ln C_2 - \ln C_1} = \frac{72,5 - 73,1}{-3,507 - (-4,605)} = \frac{-0,6}{1,098} \approx -0,546\] Теперь подставим это значение в уравнение Гиббса. \(R = 8,314\) мДж/(ммоль·К) (используем мДж, чтобы \(\Gamma\) получилось в ммоль/м\(^2\)) \(T = 288,15\) К \(\frac{d\sigma}{d\ln C} = -0,546\) мН/м \[\Gamma = -\frac{1}{8,314 \text{ мДж/(ммоль·К)} \cdot 288,15 \text{ К}} \cdot (-0,546 \text{ мН/м})\] Заметим, что 1 мН/м = 1 мДж/м\(^2\). \[\Gamma = -\frac{1}{2396,9} \cdot (-0,546) \text{ ммоль/м}^2\] \[\Gamma = 0,000417 \cdot 0,546 \text{ ммоль/м}^2\] \[\Gamma \approx 0,000227 \text{ ммоль/м}^2\] Округлим до более удобного вида: \[\Gamma \approx 2,27 \cdot 10^{-4} \text{ ммоль/м}^2\] Если бы мы использовали более точный графический метод, то на графике \(\sigma\) от \(\ln C\) в точке \(\ln C = -3,912\) (соответствующей \(C = 0,02\)) нужно было бы провести касательную и определить ее наклон. Поскольку точки лежат почти на прямой, можно провести прямую через все точки и найти ее наклон. Используя линейную регрессию для данных: \(\ln C\) | \(\sigma\) ---|--- -4,605 | 73,1 -3,912 | 72,8 -3,507 | 72,5 -2,813 | 71,8 -2,303 | 71,2 -1,609 | 70,0 Наклон (коэффициент \(k\)) линейной функции \(\sigma = k \cdot \ln C + b\) будет равен \(\frac{d\sigma}{d\ln C}\). Приближенно, наклон можно рассчитать, взяв первую и последнюю точки: \(\frac{d\sigma}{d\ln C} \approx \frac{70,0 - 73,1}{-1,609 - (-4,605)} = \frac{-3,1}{2,996} \approx -1,035\) Давайте пересчитаем с этим значением: \[\Gamma = -\frac{1}{8,314 \cdot 288,15} \cdot (-1,035)\] \[\Gamma = -\frac{1}{2396,9} \cdot (-1,035)\] \[\Gamma \approx 0,000417 \cdot 1,035 \text{ ммоль/м}^2\] \[\Gamma \approx 0,000431 \text{ ммоль/м}^2\] \[\Gamma \approx 4,31 \cdot 10^{-4} \text{ ммоль/м}^2\] Для школьника, который строит график вручную, рекомендуется: 1. Построить график \(\sigma\) от \(\ln C\). 2. В точке \(\ln C = -3,912\) (соответствующей \(C = 0,02\)) провести касательную. 3. Выбрать две удобные точки на этой касательной (например, \((\ln C_A, \sigma_A)\) и \((\ln C_B, \sigma_B)\)). 4. Рассчитать наклон касательной: \(\frac{d\sigma}{d\ln C} = \frac{\sigma_B - \sigma_A}{\ln C_B - \ln C_A}\). Предположим, что после построения графика и проведения касательной, школьник получил наклон, близкий к -0,7. Давайте возьмем среднее значение наклонов, рассчитанных ранее: \(\frac{-0,433 + (-0,741)}{2} = \frac{-1,174}{2} = -0,587\). Или, если взять наклон между точками \(\ln C = -3,912\) и \(\ln C = -3,507\), то \(\frac{72,5 - 72,8}{-3,507 - (-3,912)} = \frac{-0,3}{0,405} \approx -0,741\). Если взять наклон между точками \(\ln C = -4,605\) и \(\ln C = -3,912\), то \(\frac{72,8 - 73,1}{-3,912 - (-4,605)} = \frac{-0,3}{0,693} \approx -0,433\). Для простоты и наглядности, если график выглядит как прямая, можно взять наклон всей прямой. Давайте возьмем наклон, полученный из первой и последней точки, как наиболее репрезентативный для всей прямой: \(\frac{d\sigma}{d\ln C} \approx -1,035\). Окончательный расчет: 1. Переводим температуру в Кельвины: \(T = 15^\circ C + 273,15 = 288,15\) К 2. Рассчитываем \(\ln C\) для всех концентраций: \(C\) (моль/л) | \(\ln C\) ---|--- 0,01 | -4,605 0,02 | -3,912 0,03 | -3,507 0,06 | -2,813 0,1 | -2,303 0,2 | -1,609 3. Строим график зависимости \(\sigma\) от \(\ln C\). (На графике по оси X откладываем \(\ln C\), по оси Y - \(\sigma\). Отмечаем точки и проводим через них прямую линию, так как зависимость близка к линейной). 4. Определяем наклон \(\frac{d\sigma}{d\ln C}\) из графика. Для этого можно взять две точки на проведенной прямой, например, первую и последнюю: Точка 1: \((\ln C_1, \sigma_1) = (-4,605, 73,1)\) Точка 2: \((\ln C_2, \sigma_2) = (-1,609, 70,0)\) \[\frac{d\sigma}{d\ln C} = \frac{\sigma_2 - \sigma_1}{\ln C_2 - \ln C_1} = \frac{70,0 - 73,1}{-1,609 - (-4,605)} = \frac{-3,1}{2,996} \approx -1,035 \text{ мН/м}\] 5. Рассчитываем удельную поверхностную адсорбцию \(\Gamma\) по уравнению Гиббса: \[\Gamma = -\frac{1}{RT} \left( \frac{d\sigma}{d\ln C} \right)_T\] \(R = 8,314\) мДж/(ммоль·К) (так как 1 мН/м = 1 мДж/м\(^2\), и мы хотим получить \(\Gamma\) в ммоль/м\(^2\)) \[\Gamma = -\frac{1}{8,314 \text{ мДж/(ммоль·К)} \cdot 288,15 \text{ К}} \cdot (-1,035 \text{ мН/м})\] \[\Gamma = -\frac{1}{2396,9} \cdot (-1,035) \text{ ммоль/м}^2\] \[\Gamma \approx 0,000417 \cdot 1,035 \text{ ммоль/м}^2\] \[\Gamma \approx 0,000431 \text{ ммоль/м}^2\] Ответ: Удельная поверхностная адсорбция \(\Gamma\) при концентрации \(C_x = 0,02\) моль/л составляет примерно \(0,000431\) ммоль/м\(^2\) или \(4,31 \cdot 10^{-4}\) ммоль/м\(^2\).