Решение системы дифференциальных уравнений операционным методом Лапласа

Решение системы дифференциальных уравнений 9.10 операционным методом. Дана система: \[ \begin{cases} \dot{x} = 2x + 3y + 1 \\ \dot{y} = 4x - 2y \end{cases} \] с начальными условиями: \( x(0) = -1, y(0) = 0 \). 1. Перейдем к изображениям по Лапласу. Пусть \( x(t) \fallingdotseq X(p) \) и \( y(t) \fallingdotseq Y(p) \). Используя свойство дифференцирования оригинала: \[ \dot{x} \fallingdotseq pX(p) - x(0) = pX(p) + 1 \] \[ \dot{y} \fallingdotseq pY(p) - y(0) = pY(p) \] Изображение константы \( 1 \fallingdotseq \frac{1}{p} \). 2. Запишем систему в изображениях: \[ \begin{cases} pX(p) + 1 = 2X(p) + 3Y(p) + \frac{1}{p} \\ pY(p) = 4X(p) - 2Y(p) \end{cases} \] Группируем слагаемые с \( X(p) \) и \( Y(p) \): \[ \begin{cases} (p - 2)X(p) - 3Y(p) = \frac{1}{p} - 1 \\ -4X(p) + (p + 2)Y(p) = 0 \end{cases} \] \[ \begin{cases} (p - 2)X(p) - 3Y(p) = \frac{1 - p}{p} \\ -4X(p) + (p + 2)Y(p) = 0 \end{cases} \] 3. Выразим \( X(p) \) из второго уравнения: \[ 4X(p) = (p + 2)Y(p) \Rightarrow X(p) = \frac{p + 2}{4} Y(p) \] Подставим в первое уравнение: \[ (p - 2) \frac{p + 2}{4} Y(p) - 3Y(p) = \frac{1 - p}{p} \] \[ \frac{p^2 - 4}{4} Y(p) - 3Y(p) = \frac{1 - p}{p} \] Умножим всё на 4: \[ (p^2 - 4 - 12) Y(p) = \frac{4(1 - p)}{p} \] \[ (p^2 - 16) Y(p) = \frac{4(1 - p)}{p} \] \[ Y(p) = \frac{4(1 - p)}{p(p - 4)(p + 4)} \] 4. Разложим \( Y(p) \) на элементарные дроби: \[ \frac{4 - 4p}{p(p - 4)(p + 4)} = \frac{A}{p} + \frac{B}{p - 4} + \frac{C}{p + 4} \] Методом подстановки точек: Для \( A \): \( p = 0 \Rightarrow A = \frac{4}{-16} = -\frac{1}{4} \) Для \( B \): \( p = 4 \Rightarrow B = \frac{4 - 16}{4 \cdot 8} = \frac{-12}{32} = -\frac{3}{8} \) Для \( C \): \( p = -4 \Rightarrow C = \frac{4 + 16}{-4 \cdot (-8)} = \frac{20}{32} = \frac{5}{8} \) Изображение \( Y(p) \): \[ Y(p) = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{p} - \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{p - 4} + \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{p + 4} \] Оригинал \( y(t) \): \[ y(t) = -\frac{1}{4} - \frac{3}{8} e^{4t} + \frac{5}{8} e^{-4t} \] 5. Найдем \( x(t) \). Из второго уравнения исходной системы: \[ 4x = \dot{y} + 2y \Rightarrow x = \frac{1}{4} \dot{y} + \frac{1}{2} y \] Вычислим производную \( \dot{y} \): \[ \dot{y} = -\frac{3}{8} \cdot 4 e^{4t} + \frac{5}{8} \cdot (-4) e^{-4t} = -\frac{3}{2} e^{4t} - \frac{5}{2} e^{-4t} \] Подставляем в выражение для \( x \): \[ x(t) = \frac{1}{4} \left( -\frac{3}{2} e^{4t} - \frac{5}{2} e^{-4t} \right) + \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{4} - \frac{3}{8} e^{4t} + \frac{5}{8} e^{-4t} \right) \] \[ x(t) = -\frac{3}{8} e^{4t} - \frac{5}{8} e^{-4t} - \frac{1}{8} - \frac{3}{16} e^{4t} + \frac{5}{16} e^{-4t} \] Приводим подобные: \[ x(t) = -\frac{1}{8} + e^{4t} \left( -\frac{6}{16} - \frac{3}{16} \right) + e^{-4t} \left( -\frac{10}{16} + \frac{5}{16} \right) \] \[ x(t) = -\frac{1}{8} - \frac{9}{16} e^{4t} - \frac{5}{16} e^{-4t} \] Ответ: \[ \begin{cases} x(t) = -\frac{1}{8} - \frac{9}{16} e^{4t} - \frac{5}{16} e^{-4t} \\ y(t) = -\frac{1}{4} - \frac{3}{8} e^{4t} + \frac{5}{8} e^{-4t} \end{cases} \]