Решение задачи: Расчет адсорбции муравьиной кислоты (Вариант 10)

Хорошо, давайте решим задачу для варианта 10. Задача 1. Изучено поведение поверхностного натяжения \(\sigma\) растворов некоторых ПАВ от концентрации C. С использованием представленных в таблице данных для своего варианта графическим способом рассчитайте удельную поверхностную адсорбцию \(\Gamma\) (ммоль/м\(^2\)) при концентрации \(C_x\). Таблица данных для варианта 10: №: 10 Формула: \(\text{CH}_2\text{O}_2\) Название: муравьиная к-та T, °C: 15 Данные \(\sigma\) (мН/м) при различных C (моль/л): C = 0: \(\sigma\) = 73,5 C = 0,01: \(\sigma\) = 73,1 C = 0,02: \(\sigma\) = 72,8 C = 0,03: \(\sigma\) = 72,5 C = 0,06: \(\sigma\) = 71,8 C = 0,1: \(\sigma\) = 71,2 C = 0,2: \(\sigma\) = 70,0 \(C_x\), моль/л: 0,02 Нам нужно графическим способом рассчитать удельную поверхностную адсорбцию \(\Gamma\) при концентрации \(C_x = 0,02 \text{ моль/л}\). Для этого мы будем использовать уравнение Гиббса для адсорбции: \[ \Gamma = -\frac{1}{RT} \left( \frac{d\sigma}{d\ln C} \right)_T \] где: \(\Gamma\) - удельная поверхностная адсорбция (ммоль/м\(^2\)) \(R\) - универсальная газовая постоянная (\(8,314 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}\) или \(8,314 \cdot 10^3 \text{ мДж/(моль} \cdot \text{К)}\) для согласования с мН/м) \(T\) - абсолютная температура (К) \(\left( \frac{d\sigma}{d\ln C} \right)_T\) - производная поверхностного натяжения по натуральному логарифму концентрации при постоянной температуре. Шаг 1: Подготовим данные для построения графика. Нам нужно построить график зависимости \(\sigma\) от \(\ln C\). Температура \(T = 15 \text{ °C} = 15 + 273,15 = 288,15 \text{ К}\). Значение \(R = 8,314 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}\). Поскольку \(\sigma\) дано в мН/м, а \(1 \text{ мН/м} = 1 \text{ мДж/м}^2\), то \(R\) можно использовать как \(8,314 \cdot 10^3 \text{ мДж/(моль} \cdot \text{К)}\) или просто помнить, что \(\sigma\) в мН/м, а \(R\) в Дж/(моль К), тогда \(\Gamma\) будет в моль/м\(^2\), а затем перевести в ммоль/м\(^2\). Рассчитаем \(\ln C\) для каждой концентрации: C = 0,01: \(\ln(0,01) = -4,605\) C = 0,02: \(\ln(0,02) = -3,912\) C = 0,03: \(\ln(0,03) = -3,507\) C = 0,06: \(\ln(0,06) = -2,813\) C = 0,1: \(\ln(0,1) = -2,303\) C = 0,2: \(\ln(0,2) = -1,609\) Данные для графика \(\sigma\) от \(\ln C\): | C (моль/л) | \(\ln C\) | \(\sigma\) (мН/м) | | :---------- | :-------- | :--------------- | | 0,01 | -4,605 | 73,1 | | 0,02 | -3,912 | 72,8 | | 0,03 | -3,507 | 72,5 | | 0,06 | -2,813 | 71,8 | | 0,1 | -2,303 | 71,2 | | 0,2 | -1,609 | 70,0 | Шаг 2: Построим график \(\sigma = f(\ln C)\). (В реальной тетради школьник должен начертить график на миллиметровой бумаге. Здесь я опишу, как это сделать и как найти производную.) По оси X откладываем \(\ln C\), по оси Y - \(\sigma\). Точки: (-4,605; 73,1), (-3,912; 72,8), (-3,507; 72,5), (-2,813; 71,8), (-2,303; 71,2), (-1,609; 70,0). Соединяем точки плавной кривой. В данном случае, зависимость выглядит почти линейной. Шаг 3: Определим значение \(\left( \frac{d\sigma}{d\ln C} \right)_T\) при \(C_x = 0,02 \text{ моль/л}\). Для \(C_x = 0,02 \text{ моль/л}\), \(\ln C_x = \ln(0,02) = -3,912\). На графике найдем точку, соответствующую \(\ln C = -3,912\). Производная \(\left( \frac{d\sigma}{d\ln C} \right)_T\) - это тангенс угла наклона касательной к кривой в этой точке. Поскольку зависимость почти линейная, мы можем аппроксимировать ее прямой линией и найти наклон этой прямой. Или, если кривая имеет небольшой изгиб, провести касательную в точке \(\ln C = -3,912\). Давайте рассчитаем наклон, используя соседние точки, так как график почти линейный. Возьмем точки вокруг \(\ln C = -3,912\): Точка 1: (\(\ln C_1 = -4,605\), \(\sigma_1 = 73,1\)) Точка 2: (\(\ln C_2 = -3,912\), \(\sigma_2 = 72,8\)) Точка 3: (\(\ln C_3 = -3,507\), \(\sigma_3 = 72,5\)) Наклон между точками 1 и 2: \(\frac{\Delta \sigma}{\Delta \ln C} = \frac{72,8 - 73,1}{-3,912 - (-4,605)} = \frac{-0,3}{0,693} \approx -0,433\) Наклон между точками 2 и 3: \(\frac{\Delta \sigma}{\Delta \ln C} = \frac{72,5 - 72,8}{-3,507 - (-3,912)} = \frac{-0,3}{0,405} \approx -0,741\) Поскольку точки не лежат идеально на прямой, наклон меняется. Для более точного графического метода нужно провести касательную. Если мы построим график, то увидим, что кривая слегка изгибается. Давайте попробуем найти наклон, используя более широкий диапазон, чтобы получить среднее значение, или же использовать линейную регрессию, если бы это было разрешено. Для школьного уровня, если точки почти линейны, можно взять наклон между двумя ближайшими точками или усреднить. Давайте возьмем наклон между точками \(\ln C = 0,01\) и \(\ln C = 0,03\), так как \(C_x = 0,02\) находится между ними. \(\ln C_1 = -4,605\), \(\sigma_1 = 73,1\) \(\ln C_2 = -3,507\), \(\sigma_2 = 72,5\) \[ \left( \frac{d\sigma}{d\ln C} \right)_T \approx \frac{\sigma_2 - \sigma_1}{\ln C_2 - \ln C_1} = \frac{72,5 - 73,1}{-3,507 - (-4,605)} = \frac{-0,6}{1,098} \approx -0,546 \] Это значение будет использоваться как \(\left( \frac{d\sigma}{d\ln C} \right)_T\). Шаг 4: Рассчитаем \(\Gamma\). \[ \Gamma = -\frac{1}{RT} \left( \frac{d\sigma}{d\ln C} \right)_T \] \(R = 8,314 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}\) \(T = 288,15 \text{ К}\) \(\left( \frac{d\sigma}{d\ln C} \right)_T = -0,546 \text{ мН/м}\) \[ \Gamma = -\frac{1}{8,314 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \cdot 288,15 \text{ К}} \cdot (-0,546 \text{ мН/м}) \] \[ \Gamma = -\frac{1}{2396,991} \cdot (-0,546) \] \[ \Gamma \approx 0,000227 \cdot 0,546 \] \[ \Gamma \approx 0,000124 \text{ моль/м}^2 \] Переведем в ммоль/м\(^2\): \(1 \text{ моль} = 1000 \text{ ммоль}\) \[ \Gamma = 0,000124 \text{ моль/м}^2 \cdot 1000 \text{ ммоль/моль} = 0,124 \text{ ммоль/м}^2 \] Важно отметить, что точность графического метода зависит от аккуратности построения графика и проведения касательной. Если бы это была реальная задача с графиком, я бы провел касательную в точке \(\ln C = -3,912\) и определил ее наклон. Поскольку я не могу построить график, я использовал аппроксимацию наклона. Запишем решение в тетрадь: Решение задачи для варианта 10. Дано: Вещество: муравьиная кислота Температура \(T = 15 \text{ °C}\) Концентрация \(C_x = 0,02 \text{ моль/л}\) Таблица значений поверхностного натяжения \(\sigma\) при различных концентрациях \(C\). Найти: Удельную поверхностную адсорбцию \(\Gamma\) (ммоль/м\(^2\)) при \(C_x\). 1. Переведем температуру в Кельвины: \(T = 15 \text{ °C} + 273,15 = 288,15 \text{ К}\). 2. Подготовим данные для построения графика зависимости \(\sigma\) от \(\ln C\). Рассчитаем \(\ln C\) для каждой концентрации: | C (моль/л) | \(\ln C\) | \(\sigma\) (мН/м) | | :---------- | :-------- | :--------------- | | 0,01 | -4,605 | 73,1 | | 0,02 | -3,912 | 72,8 | | 0,03 | -3,507 | 72,5 | | 0,06 | -2,813 | 71,8 | | 0,1 | -2,303 | 71,2 | | 0,2 | -1,609 | 70,0 | 3. Построим график \(\sigma = f(\ln C)\). (На миллиметровой бумаге откладываем \(\ln C\) по оси абсцисс (X) и \(\sigma\) по оси ординат (Y). Соединяем полученные точки плавной кривой.) 4. Определим значение \(\left( \frac{d\sigma}{d\ln C} \right)_T\) при \(C_x = 0,02 \text{ моль/л}\). Для \(C_x = 0,02 \text{ моль/л}\), \(\ln C_x = \ln(0,02) = -3,912\). На графике в точке с абсциссой \(\ln C = -3,912\) проводим касательную к кривой. Определяем тангенс угла наклона этой касательной. (Поскольку график в данном диапазоне почти линеен, для приближенного расчета можно взять наклон между соседними точками. Возьмем точки \((C_1=0,01, \sigma_1=73,1)\) и \((C_2=0,03, \sigma_2=72,5)\) для определения среднего наклона вблизи \(C_x=0,02\)). \(\ln C_1 = -4,605\) \(\ln C_2 = -3,507\) \[ \left( \frac{d\sigma}{d\ln C} \right)_T \approx \frac{\sigma_2 - \sigma_1}{\ln C_2 - \ln C_1} = \frac{72,5 - 73,1}{-3,507 - (-4,605)} = \frac{-0,6}{1,098} \approx -0,546 \text{ мН/м} \] 5. Рассчитаем удельную поверхностную адсорбцию \(\Gamma\) по уравнению Гиббса: \[ \Gamma = -\frac{1}{RT} \left( \frac{d\sigma}{d\ln C} \right)_T \] Универсальная газовая постоянная \(R = 8,314 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}\). \[ \Gamma = -\frac{1}{8,314 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \cdot 288,15 \text{ К}} \cdot (-0,546 \text{ мН/м}) \] Учитывая, что \(1 \text{ Дж} = 1 \text{ Н} \cdot \text{м}\) и \(1 \text{ мН} = 10^{-3} \text{ Н}\), \(1 \text{ мН/м} = 10^{-3} \text{ Н/м} = 10^{-3} \text{ Дж/м}^2\). \[ \Gamma = -\frac{1}{2396,991 \text{ Дж/моль}} \cdot (-0,546 \cdot 10^{-3} \text{ Дж/м}^2) \] \[ \Gamma \approx 0,000227 \text{ моль/Дж} \cdot 0,000546 \text{ Дж/м}^2 \] \[ \Gamma \approx 0,000124 \text{ моль/м}^2 \] 6. Переведем \(\Gamma\) в ммоль/м\(^2\): \[ \Gamma = 0,000124 \text{ моль/м}^2 \cdot 1000 \text{ ммоль/моль} = 0,124 \text{ ммоль/м}^2 \] Ответ: Удельная поверхностная адсорбция \(\Gamma\) при концентрации \(C_x = 0,02 \text{ моль/л}\) составляет примерно \(0,124 \text{ ммоль/м}^2\).