Хорошо, давайте решим задачу для варианта 2.
Нам дана выборка из генеральной совокупности случайной величины \(X\) объемом \(n=100\).
Данные для варианта 2:
40 43 47 45 42 39 41 36 42 38
51 44 36 30 44 42 43 43 43 40
45 39 48 40 34 45 40 40 40 36
50 56 36 38 32 41 49 45 43 41
40 40 53 40 37 53 51 49 52 47
43 48 45 46 52 42 51 45 49 49
43 45 46 52 42 45 49 53 52 52
40 34 38 35 44 42 43 41 44 42
34 41 36 33 33 40 43 42 34 43
46 42 42 45 45 48 48 42 51 38
а) Определить размах варьирования случайной величины и составить вариационный ряд распределения
Для начала, чтобы составить вариационный ряд, нужно упорядочить все значения выборки по возрастанию.
Минимальное значение в выборке: \(x_{min} = 30\)
Максимальное значение в выборке: \(x_{max} = 56\)
Размах варьирования \(R\) определяется как разность между максимальным и минимальным значениями в выборке:
\[R = x_{max} - x_{min}\]
\[R = 56 - 30 = 26\]
Теперь составим вариационный ряд. Для удобства перепишем все значения в порядке возрастания:
30, 32, 33, 33, 34, 34, 34, 35, 36, 36, 36, 36, 37, 38, 38, 38, 38, 39, 39, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 44, 44, 44, 44, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 46, 46, 46, 46, 47, 47, 48, 48, 48, 48, 49, 49, 49, 49, 49, 50, 50, 51, 51, 51, 51, 52, 52, 52, 52, 53, 53, 53, 56
б) Взять длину интервалов = 10 и составить интервальный вариационный ряд
Длина интервалов \(h = 10\).
Начнем с минимального значения \(x_{min} = 30\).
Интервалы будут следующими:
1. \[30; 40)\]: В этот интервал входят значения от 30 до 39 включительно.
2. \[40; 50)\]: В этот интервал входят значения от 40 до 49 включительно.
3. \[50; 60)\]: В этот интервал входят значения от 50 до 59 включительно.
Теперь посчитаем частоту попадания значений в каждый интервал.
1. Интервал \[30; 40):
Значения: 30, 32, 33, 33, 34, 34, 34, 35, 36, 36, 36, 36, 37, 38, 38, 38, 38, 39, 39.
Количество значений (частота \(n_i\)): 19
2. Интервал \[40; 50):
Значения: 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 44, 44, 44, 44, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 46, 46, 46, 46, 47, 47, 48, 48, 48, 48, 49, 49, 49, 49, 49.
Количество значений (частота \(n_i\)): 58
3. Интервал \[50; 60):
Значения: 50, 50, 51, 51, 51, 51, 52, 52, 52, 52, 53, 53, 53, 56.
Количество значений (частота \(n_i\)): 14
Проверим сумму частот: \(19 + 58 + 14 = 91\).
Ой, что-то не сходится с \(n=100\). Давайте пересчитаем внимательнее.
Пересчитаем вариационный ряд и частоты:
30 (1)
32 (1)
33 (2)
34 (3)
35 (1)
36 (4)
37 (1)
38 (4)
39 (2)
40 (8)
41 (5)
42 (9)
43 (8)
44 (4)
45 (8)
46 (4)
47 (2)
48 (4)
49 (5)
50 (2)
51 (4)
52 (4)
53 (3)
56 (1)
Сумма частот: \(1+1+2+3+1+4+1+4+2+8+5+9+8+4+8+4+2+4+5+2+4+4+3+1 = 100\). Теперь верно.
Интервальный вариационный ряд:
| Интервал | Середина интервала \(x_i^*\) | Частота \(n_i\) | Относительная частота \(w_i = n_i/n\) |
| :------- | :-------------------------- | :-------------- | :------------------------------------ |
| \[30; 40)\] | 35 | 19 | 0.19 |
| \[40; 50)\] | 45 | 58 | 0.58 |
| \[50; 60)\] | 55 | 23 | 0.23 |
| **Сумма** | | **100** | **1.00** |
(В интервал \[50; 60)\] входят: 50, 50, 51, 51, 51, 51, 52, 52, 52, 52, 53, 53, 53, 56. Всего 14 значений.
А, я ошибся в подсчете. Давайте еще раз.
30, 32, 33, 33, 34, 34, 34, 35, 36, 36, 36, 36, 37, 38, 38, 38, 38, 39, 39 (19 значений) - это верно.
40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 44, 44, 44, 44, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 46, 46, 46, 46, 47, 47, 48, 48, 48, 48, 49, 49, 49, 49, 49 (58 значений) - это верно.
50, 50, 51, 51, 51, 51, 52, 52, 52, 52, 53, 53, 53, 56 (14 значений) - это верно.
Сумма: \(19 + 58 + 14 = 91\).
Где же остальные 9 значений?
Давайте еще раз перепроверим исходные данные и вариационный ряд.
Исходные данные:
40 43 47 45 42 39 41 36 42 38 (10)
51 44 36 30 44 42 43 43 43 40 (10)
45 39 48 40 34 45 40 40 40 36 (10)
50 56 36 38 32 41 49 45 43 41 (10)
40 40 53 40 37 53 51 49 52 47 (10)
43 48 45 46 52 42 51 45 49 49 (10)
43 45 46 52 42 45 49 53 52 52 (10)
40 34 38 35 44 42 43 41 44 42 (10)
34 41 36 33 33 40 43 42 34 43 (10)
46 42 42 45 45 48 48 42 51 38 (10)
Всего 100 значений.
Вариационный ряд (перепроверим):
30 (1)
32 (1)
33 (2)
34 (3)
35 (1)
36 (4)
37 (1)
38 (4)
39 (2)
40 (8)
41 (5)
42 (9)
43 (8)
44 (4)
45 (8)
46 (4)
47 (2)
48 (4)
49 (5)
50 (2)
51 (4)
52 (4)
53 (3)
56 (1)
Сумма частот: \(1+1+2+3+1+4+1+4+2+8+5+9+8+4+8+4+2+4+5+2+4+4+3+1 = 100\).
Вариационный ряд составлен верно.
Теперь пересчитаем частоты для интервалов:
1. Интервал \[30; 40):
Значения: 30, 32, 33, 33, 34, 34, 34, 35, 36, 36, 36, 36, 37, 38, 38, 38, 38, 39, 39.
Количество значений (частота \(n_i\)): 19. (Верно)
2. Интервал \[40; 50):
Значения: 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 44, 44, 44, 44, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 46, 46, 46, 46, 47, 47, 48, 48, 48, 48, 49, 49, 49, 49, 49.
Количество значений (частота \(n_i\)): 8 (для 40) + 5 (для 41) + 9 (для 42) + 8 (для 43) + 4 (для 44) + 8 (для 45) + 4 (для 46) + 2 (для 47) + 4 (для 48) + 5 (для 49) = 57.
Моя предыдущая сумма была 58. Давайте пересчитаем:
8+5+9+8+4+8+4+2+4+5 = 57.
Значит, частота для интервала \[40; 50)\] равна 57.
3. Интервал \[50; 60):
Значения: 50, 50, 51, 51, 51, 51, 52, 52, 52, 52, 53, 53, 53, 56.
Количество значений (частота \(n_i\)): 2 (для 50) + 4 (для 51) + 4 (для 52) + 3 (для 53) + 1 (для 56) = 14. (Верно)
Сумма частот: \(19 + 57 + 14 = 90\).
Все еще не 100. Где же ошибка?
Давайте еще раз пересчитаем все значения из исходной таблицы.
Это очень кропотливая работа, но без нее не получить верный результат.
Пересчитаем все значения и их частоты:
30: 1
32: 1
33: 2 (33, 33)
34: 3 (34, 34, 34)
35: 1
36: 4 (36, 36, 36, 36)
37: 1
38: 4 (38, 38, 38, 38)
39: 2 (39, 39)
40: 8 (40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40)
41: 5 (41, 41, 41, 41, 41)
42: 9 (42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42)
43: 8 (43, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 43)
44: 4 (44, 44, 44, 44)
45: 8 (45, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 45)
46: 4 (46, 4
