Хорошо, давайте решим задачу для варианта 4.
Условие задачи:
Квант света выбивает из атома водорода или иона гелия электрон. Энергия кванта - \( \varepsilon \), длина волны - \( \lambda \). Скорость выбитого электрона - \( v \), его энергия - \( E \). Атом (ион) находился в основном состоянии. Энергия дана в эВ, длина волны - в нм, скорость - в Мм/с.
Для варианта 4 дано:
Атом: \( \text{He}^+ \)
Энергия выбитого электрона \( E = 14 \) эВ
Найти: \( \lambda \) (длину волны кванта)
Решение:
1. Определим энергию ионизации для иона гелия \( \text{He}^+ \) в основном состоянии.
Энергия электрона в водородоподобном атоме (ионе) определяется формулой:
\[ E_n = -13,6 \frac{Z^2}{n^2} \]
где \( Z \) - зарядовое число ядра, \( n \) - главное квантовое число.
Для иона гелия \( \text{He}^+ \), \( Z = 2 \).
В основном состоянии \( n = 1 \).
Энергия основного состояния для \( \text{He}^+ \):
\[ E_1 = -13,6 \frac{2^2}{1^2} = -13,6 \cdot 4 = -54,4 \text{ эВ} \]
Энергия ионизации \( E_{\text{ион}} \) - это энергия, которую нужно сообщить электрону, чтобы выбить его из атома (иона) из основного состояния. Она равна по модулю энергии основного состояния:
\[ E_{\text{ион}} = |E_1| = 54,4 \text{ эВ} \]
2. Применим закон сохранения энергии (уравнение Эйнштейна для фотоэффекта):
Энергия падающего кванта \( \varepsilon \) расходуется на работу выхода (энергию ионизации) \( E_{\text{ион}} \) и на кинетическую энергию выбитого электрона \( E \).
\[ \varepsilon = E_{\text{ион}} + E \]
Подставим известные значения:
\[ \varepsilon = 54,4 \text{ эВ} + 14 \text{ эВ} = 68,4 \text{ эВ} \]
Итак, энергия кванта \( \varepsilon = 68,4 \) эВ.
3. Найдем длину волны \( \lambda \) кванта.
Связь между энергией кванта \( \varepsilon \) и его длиной волны \( \lambda \) выражается формулой:
\[ \varepsilon = \frac{hc}{\lambda} \]
где \( h \) - постоянная Планка, \( c \) - скорость света.
Для удобства расчетов, когда энергия дана в эВ, а длина волны в нм, можно использовать приближенную формулу:
\[ \varepsilon (\text{эВ}) = \frac{1240}{\lambda (\text{нм})} \]
Отсюда выразим \( \lambda \):
\[ \lambda (\text{нм}) = \frac{1240}{\varepsilon (\text{эВ})} \]
Подставим значение \( \varepsilon \):
\[ \lambda = \frac{1240}{68,4} \]
\[ \lambda \approx 18,13 \text{ нм} \]
Ответ для варианта 4:
Длина волны кванта \( \lambda \approx 18,13 \) нм.
Оформление для тетради:
Вариант 4
Дано:
Атом: \( \text{He}^+ \)
Энергия выбитого электрона \( E = 14 \) эВ
Найти:
\( \lambda \) - длина волны кванта
Решение:
1. Определим энергию ионизации для иона гелия \( \text{He}^+ \) в основном состоянии.
Энергия электрона в водородоподобном атоме (ионе) в основном состоянии (\( n=1 \)) определяется формулой:
\[ E_1 = -13,6 \frac{Z^2}{n^2} \]
Для иона гелия \( \text{He}^+ \), зарядовое число \( Z = 2 \).
Подставим значения:
\[ E_1 = -13,6 \frac{2^2}{1^2} = -13,6 \cdot 4 = -54,4 \text{ эВ} \]
Энергия ионизации \( E_{\text{ион}} \) равна по модулю энергии основного состояния:
\[ E_{\text{ион}} = |E_1| = 54,4 \text{ эВ} \]
2. Применим закон сохранения энергии (уравнение Эйнштейна для фотоэффекта):
Энергия кванта \( \varepsilon \) расходуется на энергию ионизации \( E_{\text{ион}} \) и на кинетическую энергию выбитого электрона \( E \).
\[ \varepsilon = E_{\text{ион}} + E \]
Подставим известные значения:
\[ \varepsilon = 54,4 \text{ эВ} + 14 \text{ эВ} = 68,4 \text{ эВ} \]
3. Найдем длину волны \( \lambda \) кванта.
Связь между энергией кванта \( \varepsilon \) (в эВ) и его длиной волны \( \lambda \) (в нм) выражается формулой:
\[ \lambda (\text{нм}) = \frac{1240}{\varepsilon (\text{эВ})} \]
Подставим значение \( \varepsilon \):
\[ \lambda = \frac{1240}{68,4} \]
\[ \lambda \approx 18,13 \text{ нм} \]
Ответ:
\( \lambda \approx 18,13 \) нм.
