Решение задачи на подобие треугольников с биссектрисами

Давайте разберем каждое утверждение по порядку. а) В треугольниках АВС и А1В1С1 провели биссектрисы BL и B1L1 соответственно. Тогда если △ABL ~ △A1B1L1, то △АВС ~ △ А1В1С1. Разберем это утверждение. Если треугольники ABL и A1B1L1 подобны, то: 1. Углы у них равны: \[\angle A = \angle A_1\] \[\angle ABL = \angle A_1B_1L_1\] \[\angle ALB = \angle A_1L_1B_1\] 2. Стороны пропорциональны: \[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BL}{B_1L_1} = \frac{AL}{A_1L_1} = k\] Так как BL и B1L1 - биссектрисы, то \[\angle ABL = \frac{1}{2} \angle B\] и \[\angle A_1B_1L_1 = \frac{1}{2} \angle B_1\]. Из \[\angle ABL = \angle A_1B_1L_1\] следует, что \[\frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \angle B_1\], то есть \[\angle B = \angle B_1\]. Теперь у нас есть: \[\angle A = \angle A_1\] \[\angle B = \angle B_1\] Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Значит, △АВС ~ △ А1В1С1. Утверждение (а) верно. б) Точки М и N – середины сторон АВ и PQ подобных треугольников АВС и PQR соответственно, причём AM = 5, a PN = 10 Тогда если ∠СМВ = 33°, то ∠RNQ = 66°. Разберем это утверждение. Дано, что △АВС ~ △ PQR. Это означает, что: 1. Углы равны: \[\angle A = \angle P\] \[\angle B = \angle Q\] \[\angle C = \angle R\] 2. Стороны пропорциональны: \[\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = k\] Точки M и N – середины сторон АВ и PQ. Значит, \[AM = MB = \frac{1}{2} AB\] и \[PN = NQ = \frac{1}{2} PQ\]. Дано \[AM = 5\], значит \[AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 5 = 10\]. Дано \[PN = 10\], значит \[PQ = 2 \cdot PN = 2 \cdot 10 = 20\]. Коэффициент подобия \(k\) между △АВС и △ PQR равен \[\frac{AB}{PQ} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\]. Рассмотрим медианы CM и RN. В подобных треугольниках медианы, проведенные к соответственным сторонам, также пропорциональны с тем же коэффициентом подобия. То есть, \[\frac{CM}{RN} = k = \frac{1}{2}\]. Также, углы, образованные медианами с соответствующими сторонами, не обязательно равны или пропорциональны в таком простом соотношении. Угол ∠СМВ - это угол между медианой CM и стороной BC. Угол ∠RNQ - это угол между медианой RN и стороной RQ. Нет общего правила, что если △АВС ~ △ PQR, то \[\angle CMB = \angle RNQ\] или \[\angle CMB = \frac{1}{2} \angle RNQ\]. Например, если рассмотреть треугольники ABM и PQN, они подобны, так как \[\angle A = \angle P\] и \[\frac{AM}{PN} = \frac{AB}{PQ} = \frac{1}{2}\]. Но это не дает прямой связи между ∠СМВ и ∠RNQ. Утверждение (б) неверно. в) Если у двух трапеций равны соответственные углы, то они подобны. Разберем это утверждение. Для того чтобы два многоугольника были подобны, должны выполняться два условия: 1. Их соответственные углы должны быть равны. 2. Их соответственные стороны должны быть пропорциональны. Трапеция - это четырехугольник, у которого одна пара сторон параллельна. Рассмотрим две трапеции. Пусть у них равны соответственные углы. Например, возьмем равнобедренную трапецию с углами 60°, 120°, 120°, 60°. И возьмем другую равнобедренную трапецию с такими же углами. Если у первой трапеции основания 2 и 4, а боковые стороны 2. Если у второй трапеции основания 3 и 6, а боковые стороны 3. В этом случае, углы равны, и стороны пропорциональны (коэффициент 3/2). Эти трапеции подобны. Однако, можно привести контрпример. Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC. Пусть \[\angle A = 90^\circ\], \[\angle B = 90^\circ\], \[\angle D = 45^\circ\], \[\angle C = 45^\circ\]. (Это невозможно для трапеции, так как сумма углов при боковой стороне должна быть 180 градусов, если стороны параллельны. У трапеции углы при основании не обязательно равны). Давайте возьмем более корректный пример. Рассмотрим прямоугольную трапецию с углами 90°, 90°, 60°, 120°. Пусть у первой трапеции основания 2 и 4, а высота 2. Тогда боковая сторона, образующая угол 60°, будет \[\frac{2}{\sin 60^\circ} = \frac{4}{\sqrt{3}}\]. Пусть у второй трапеции основания 3 и 5, а высота 2. Тогда боковая сторона, образующая угол 60°, будет \[\frac{2}{\sin 60^\circ} = \frac{4}{\sqrt{3}}\]. Углы у них одинаковые: 90°, 90°, 60°, 120°. Но стороны не пропорциональны. Для первой трапеции стороны: 2, 2, 4, \[\frac{4}{\sqrt{3}}\]. Для второй трапеции стороны: 3, 2, 5, \[\frac{4}{\sqrt{3}}\]. Отношение оснований: \[\frac{2}{3} \neq \frac{4}{5}\]. Отношение высот: \[\frac{2}{2} = 1\]. Отношение боковых сторон: \[\frac{4/\sqrt{3}}{4/\sqrt{3}} = 1\]. Так как соответственные стороны не пропорциональны, эти трапеции не подобны. Таким образом, равенство соответственных углов недостаточно для подобия трапеций. Утверждение (в) неверно. г) В прямоугольном треугольнике АВС на его гипотенузу АС опустили высоту ВН. Тогда треугольники АНВ и ВНС подобны с коэффициентом подобия равным cos ∠А. Разберем это утверждение. Пусть дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине В. Высота ВН опущена на гипотенузу АС. Рассмотрим треугольники АНВ и ВНС. В треугольнике АНВ: \[\angle AHB = 90^\circ\] (так как ВН - высота) \[\angle A\] - общий угол с △АВС. \[\angle ABH = 90^\circ - \angle A\] В треугольнике ВНС: \[\angle BHC = 90^\circ\] (так как ВН - высота) \[\angle C\] - общий угол с △АВС. \[\angle HBC = 90^\circ - \angle C\] Так как в △АВС \[\angle B = 90^\circ\], то \[\angle A + \angle C = 90^\circ\]. Значит, \[\angle C = 90^\circ - \angle A\]. И \[\angle ABH = 90^\circ - \angle A = \angle C\]. И \[\angle HBC = 90^\circ - \angle C = \angle A\]. Теперь сравним углы △АНВ и △ВНС: В △АНВ: \[\angle A\], \[\angle AHB = 90^\circ\], \[\angle ABH = \angle C\] В △ВНС: \[\angle HBC = \angle A\], \[\angle BHC = 90^\circ\], \[\angle C\] Мы видим, что углы △АНВ равны углам △ВНС: \[\angle A = \angle HBC\] \[\angle AHB = \angle BHC = 90^\circ\] \[\angle ABH = \angle C\] Следовательно, △АНВ ~ △ВНС. Теперь найдем коэффициент подобия. Коэффициент подобия - это отношение соответственных сторон. Соответственные стороны: \[\frac{AH}{BH} = \frac{BH}{CH} = \frac{AB}{BC}\] Нам нужно проверить, равен ли этот коэффициент \[\cos \angle A\]. Из △АНВ: \[\cos \angle A = \frac{AH}{AB}\] Из △АВС: \[\cos \angle A = \frac{AB}{AC}\] Из △ВНС: \[\cos \angle C = \frac{CH}{BC}\] \[\sin \angle A = \frac{BC}{AC}\] \[\cos \angle A = \sin \angle C\] Коэффициент подобия между △АНВ и △ВНС равен \[\frac{AB}{BC}\]. Мы знаем, что \[\frac{AB}{BC} = \frac{\text{катет прилежащий к } \angle C}{\text{катет прилежащий к } \angle A}\]. Также \[\frac{AB}{BC} = \frac{\cos \angle A \cdot AC}{\sin \angle A \cdot AC} = \frac{\cos \angle A}{\sin \angle A} = \text{ctg } \angle A\]. Таким образом, коэффициент подобия равен \[\text{ctg } \angle A\], а не \[\cos \angle A\]. Утверждение (г) неверно. Окончательный ответ: Верное утверждение только (а). Проверим все еще раз. а) Если △ABL ~ △A1B1L1, то \[\angle A = \angle A_1\] и \[\angle ABL = \angle A_1B_1L_1\]. Так как BL и B1L1 - биссектрисы, то \[\angle B = 2 \angle ABL\] и \[\angle B_1 = 2 \angle A_1B_1L_1\]. Следовательно, \[\angle B = \angle B_1\]. Имеем \[\angle A = \angle A_1\] и \[\angle B = \angle B_1\], значит △АВС ~ △ А1В1С1 по двум углам. Утверждение верно. б) Точки М и N – середины сторон АВ и PQ подобных треугольников АВС и PQR. △АВС ~ △ PQR. Значит, \[\angle B = \angle Q\]. Рассмотрим треугольники CMB и RNQ. CM и RN - медианы. Угол ∠СМВ - это угол между медианой CM и стороной BC. Угол ∠RNQ - это угол между медианой RN и стороной RQ. Нет прямого правила, что эти углы будут в каком-либо простом соотношении. Например, если взять равносторонние треугольники, то все углы 60 градусов, медианы являются и биссектрисами, и высотами. Угол между медианой и стороной будет 30 градусов. В этом случае \[\angle CMB = 30^\circ\] и \[\angle RNQ = 30^\circ\]. Тогда 33° не равно 66°. Если треугольники не равносторонние, то углы могут быть разными. Утверждение неверно. в) Если у двух трапеций равны соответственные углы, то они подобны. Пример: Трапеция 1: основания 2 и 4, высота 2. Углы 90, 90, 60, 120. Боковая сторона \[\frac{2}{\sin 60^\circ} = \frac{4}{\sqrt{3}}\]. Стороны: 2, 2, 4, \[\frac{4}{\sqrt{3}}\]. Трапеция 2: основания 3 и 5, высота 2. Углы 90, 90, 60, 120. Боковая сторона \[\frac{2}{\sin 60^\circ} = \frac{4}{\sqrt{3}}\]. Стороны: 3, 2, 5, \[\frac{4}{\sqrt{3}}\]. Углы равны, но стороны не пропорциональны (например, \[\frac{2}{3} \neq \frac{4}{5}\]). Утверждение неверно. г) В прямоугольном треугольнике АВС на его гипотенузу АС опустили высоту ВН. Тогда треугольники АНВ и ВНС подобны с коэффициентом подобия равным cos ∠А. Мы доказали, что △АНВ ~ △ВНС. Коэффициент подобия \(k = \frac{AB}{BC}\). В прямоугольном треугольнике АВС: \[\cos \angle A = \frac{AB}{AC}\] \[\sin \angle A = \frac{BC}{AC}\] Тогда \[\frac{AB}{BC} = \frac{AC \cos \angle A}{AC \sin \angle A} = \frac{\cos \angle A}{\sin \angle A} = \text{ctg } \angle A\]. Коэффициент подобия равен \[\text{ctg } \angle A\], а не \[\cos \angle A\]. Утверждение неверно. Таким образом, единственное верное утверждение - (а). Ответ: Верное утверждение: а) В треугольниках АВС и А1В1С1 провели биссектрисы BL и B1L1 соответственно. Тогда если △ABL ~ △A1B1L1, то △АВС ~ △ А1В1С1.