Решение задачи: Велосипедист и автобус

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь: Решение задачи: Пусть: * \(S\) – расстояние между посёлками А и В (в км). * \(v_в\) – скорость велосипедиста (в км/мин). * \(v_а\) – скорость автобуса (в км/мин). Известно, что скорость велосипедиста составляет 20% от скорости автобуса. Значит, \(v_в = 0,2 \cdot v_а\). Первая встреча: Велосипедист и автобус выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через 20 минут. Расстояние, которое проехал велосипедист до первой встречи: \(S_в = v_в \cdot 20\). Расстояние, которое проехал автобус до первой встречи: \(S_а = v_а \cdot 20\). Вместе они проехали всё расстояние между посёлками: \[S_в + S_а = S\] \[v_в \cdot 20 + v_а \cdot 20 = S\] Подставим \(v_в = 0,2 \cdot v_а\): \[0,2 \cdot v_а \cdot 20 + v_а \cdot 20 = S\] \[4 \cdot v_а + 20 \cdot v_а = S\] \[24 \cdot v_а = S\] Отсюда выразим скорость автобуса: \[v_а = \frac{S}{24}\] И скорость велосипедиста: \[v_в = 0,2 \cdot v_а = 0,2 \cdot \frac{S}{24} = \frac{S}{120}\] Вторая часть движения: После первой встречи автобус продолжил движение до А, а велосипедист – до В. Время, за которое автобус доехал от места первой встречи до А: Пусть место первой встречи находится на расстоянии \(x\) от А. Тогда \(x = v_в \cdot 20 = \frac{S}{120} \cdot 20 = \frac{S}{6}\). Расстояние, которое проехал автобус от места встречи до А, равно \(S - x = S - \frac{S}{6} = \frac{5S}{6}\). Время, за которое автобус проехал это расстояние: \[t_{а\_до\_А} = \frac{5S/6}{v_а} = \frac{5S/6}{S/24} = \frac{5S}{6} \cdot \frac{24}{S} = 5 \cdot 4 = 20 \text{ минут}\] Автобус сделал остановку на 6 минут. Общее время, прошедшее с момента первой встречи до момента, когда автобус отправился обратно из А: \[t_{общ\_до\_обратно} = t_{а\_до\_А} + 6 = 20 + 6 = 26 \text{ минут}\] За это время велосипедист продолжал движение от места первой встречи в сторону В. Расстояние, которое проехал велосипедист за эти 26 минут: \[S_{в\_2} = v_в \cdot 26 = \frac{S}{120} \cdot 26 = \frac{26S}{120} = \frac{13S}{60}\] Место второй встречи: Автобус отправился обратно из А в В. Велосипедист находится на расстоянии \(x + S_{в\_2}\) от А. \[x + S_{в\_2} = \frac{S}{6} + \frac{13S}{60} = \frac{10S}{60} + \frac{13S}{60} = \frac{23S}{60}\] Это расстояние от А до велосипедиста в момент, когда автобус начал движение обратно из А. Автобус догнал велосипедиста в 7,5 км от А. Пусть \(t_{догон}\) – время, через которое автобус догнал велосипедиста, после того как автобус выехал из А. За это время автобус проехал расстояние \(v_а \cdot t_{догон}\). За это время велосипедист проехал расстояние \(v_в \cdot t_{догон}\). Расстояние, которое проехал автобус от А до места второй встречи, равно 7,5 км. Значит, \(v_а \cdot t_{догон} = 7,5\). Расстояние, которое проехал велосипедист от места, где он был, когда автобус выехал из А, до места второй встречи: \[7,5 - \frac{23S}{60} = v_в \cdot t_{догон}\] Мы знаем, что \(v_в = 0,2 \cdot v_а\). Значит, \(v_в \cdot t_{догон} = 0,2 \cdot (v_а \cdot t_{догон}) = 0,2 \cdot 7,5 = 1,5\) км. Теперь составим уравнение: \[7,5 - \frac{23S}{60} = 1,5\] \[7,5 - 1,5 = \frac{23S}{60}\] \[6 = \frac{23S}{60}\] \[S = \frac{6 \cdot 60}{23}\] \[S = \frac{360}{23}\] \[S \approx 15,65 \text{ км}\] Проверим ещё раз условие "догнав велосипедиста в 7,5 км от А". Это означает, что место второй встречи находится на расстоянии 7,5 км от А. Когда автобус выехал из А, велосипедист находился на расстоянии \(\frac{23S}{60}\) от А. Автобус движется со скоростью \(v_а\), велосипедист – со скоростью \(v_в\). Автобус догоняет велосипедиста. Расстояние, которое проехал автобус от А до места встречи: 7,5 км. Время, за которое автобус проехал 7,5 км: \(t_{догон} = \frac{7,5}{v_а}\). За это же время велосипедист проехал от своей точки старта (когда автобус выехал из А) до места встречи. Расстояние, которое проехал велосипедист за \(t_{догон}\): \(v_в \cdot t_{догон}\). Место встречи для велосипедиста: \(\frac{23S}{60} + v_в \cdot t_{догон} = 7,5\). Подставим \(v_в = 0,2 \cdot v_а\) и \(t_{догон} = \frac{7,5}{v_а}\): \[\frac{23S}{60} + 0,2 \cdot v_а \cdot \frac{7,5}{v_а} = 7,5\] \[\frac{23S}{60} + 0,2 \cdot 7,5 = 7,5\] \[\frac{23S}{60} + 1,5 = 7,5\] \[\frac{23S}{60} = 7,5 - 1,5\] \[\frac{23S}{60} = 6\] \[23S = 6 \cdot 60\] \[23S = 360\] \[S = \frac{360}{23}\] Вычислим значение: \[S \approx 15,65217 \text{ км}\] Ответ: Расстояние между А и В равно \(\frac{360}{23}\) км или приблизительно 15,65 км. Окончательный ответ: Расстояние между А и В равно \(\frac{360}{23}\) км.