Решение задачи: Велосипедист и автобус навстречу друг другу

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь: Решение задачи: Пусть: * \(V_в\) – скорость велосипедиста. * \(V_а\) – скорость автобуса. * \(S\) – расстояние между посёлками А и Б. Известно, что скорость велосипедиста составляет 20% от скорости автобуса. Значит, \(V_в = 0,2 \cdot V_а\). Первая встреча: Велосипедист и автобус выехали навстречу друг другу и встретились через 20 минут. 20 минут = \(20/60\) часа = \(1/3\) часа. За это время они вместе проехали всё расстояние \(S\). Расстояние, которое проехал велосипедист до первой встречи: \(S_в = V_в \cdot (1/3)\). Расстояние, которое проехал автобус до первой встречи: \(S_а = V_а \cdot (1/3)\). Тогда \(S = S_в + S_а = V_в \cdot (1/3) + V_а \cdot (1/3) = (V_в + V_а) \cdot (1/3)\). Подставим \(V_в = 0,2 \cdot V_а\): \(S = (0,2 \cdot V_а + V_а) \cdot (1/3) = 1,2 \cdot V_а \cdot (1/3) = 0,4 \cdot V_а\). Движение после первой встречи: После первой встречи автобус продолжил движение до посёлка А. Расстояние от места первой встречи до А – это то расстояние, которое проехал велосипедист до первой встречи: \(S_в = V_в \cdot (1/3)\). Время, за которое автобус доехал от места первой встречи до А: \(t_{а \to А} = S_в / V_а = (V_в \cdot (1/3)) / V_а\). Подставим \(V_в = 0,2 \cdot V_а\): \(t_{а \to А} = (0,2 \cdot V_а \cdot (1/3)) / V_а = 0,2 \cdot (1/3) = 1/15\) часа. Автобус сделал остановку на 6 минут. 6 минут = \(6/60\) часа = \(1/10\) часа. Затем автобус отправился обратно в Б. В это время велосипедист продолжал движение от места первой встречи в сторону Б. Вторая встреча: Автобус догнал велосипедиста в 7,5 км от А. Это означает, что велосипедист проехал 7,5 км от посёлка А. Рассмотрим движение велосипедиста от начала до второй встречи. Общее время движения велосипедиста до второй встречи: \(T_в\). Расстояние, которое проехал велосипедист до второй встречи: \(S_{в\_общ} = 7,5\) км. Значит, \(T_в = S_{в\_общ} / V_в = 7,5 / V_в\). Рассмотрим движение автобуса от начала до второй встречи. Автобус проехал расстояние \(S\) (от Б до А), затем проехал расстояние \(S - 7,5\) км (от А до места второй встречи). Общее расстояние, которое проехал автобус до второй встречи: \(S_{а\_общ} = S + (S - 7,5) = 2S - 7,5\). Общее время движения автобуса до второй встречи: \(T_а\). \(T_а = S_{а\_общ} / V_а + \text{время остановки}\). \(T_а = (2S - 7,5) / V_а + 1/10\). Время движения велосипедиста до второй встречи равно времени движения автобуса до второй встречи. \(T_в = T_а\). \(7,5 / V_в = (2S - 7,5) / V_а + 1/10\). Подставим \(V_в = 0,2 \cdot V_а\): \(7,5 / (0,2 \cdot V_а) = (2S - 7,5) / V_а + 1/10\). Умножим всё уравнение на \(V_а\), чтобы избавиться от \(V_а\) в знаменателе: \(7,5 / 0,2 = (2S - 7,5) + V_а / 10\). \(37,5 = 2S - 7,5 + V_а / 10\). \(45 = 2S + V_а / 10\). (Уравнение 1) У нас есть ещё одно соотношение: \(S = 0,4 \cdot V_а\). Из этого выразим \(V_а\): \(V_а = S / 0,4 = 2,5 \cdot S\). Подставим \(V_а = 2,5 \cdot S\) в Уравнение 1: \(45 = 2S + (2,5 \cdot S) / 10\). \(45 = 2S + 0,25 \cdot S\). \(45 = 2,25 \cdot S\). Теперь найдём \(S\): \(S = 45 / 2,25\). \(S = 45 / (9/4)\). \(S = 45 \cdot (4/9)\). \(S = (45/9) \cdot 4\). \(S = 5 \cdot 4\). \(S = 20\) км. Ответ: Расстояние между А и Б равно 20 км.