Нахождение аргумента комплексного числа z = -1 + √3i

Хорошо, давайте решим задачи из Вопросов 22 и 23.

Вопрос 22:

Найти (в градусах) аргумент комплексного числа \(z = -1 + \sqrt{3}i\).

Комплексное число \(z = -1 + \sqrt{3}i\) имеет действительную часть \(x = -1\) и мнимую часть \(y = \sqrt{3}\). Это число находится во втором квадранте комплексной плоскости (поскольку \(x < 0\) и \(y > 0\)). Сначала найдем модуль комплексного числа: \(|z| = r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\). Теперь найдем аргумент \(\theta\). Используем соотношения: \(\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{-1}{2}\) \(\sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) Мы ищем угол \(\theta\) во втором квадранте, для которого \(\cos \theta = -\frac{1}{2}\) и \(\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Известно, что угол, для которого \(\cos \alpha = \frac{1}{2}\) и \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\), равен \(60^\circ\) (или \(\frac{\pi}{3}\) радиан). Поскольку наше число находится во втором квадранте, аргумент будет равен \(180^\circ - \alpha\). \(\theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Ответ: **120**

Вопрос 23:

Найти (в градусах) аргумент комплексного числа \(z = -5\).

Комплексное число \(z = -5\) можно записать как \(z = -5 + 0i\). Здесь действительная часть \(x = -5\), а мнимая часть \(y = 0\). Это число лежит на отрицательной части действительной оси в комплексной плоскости. Сначала найдем модуль комплексного числа: \(|z| = r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-5)^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5\). Теперь найдем аргумент \(\theta\). Используем соотношения: \(\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{-5}{5} = -1\) \(\sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{0}{5} = 0\) Единственный угол \(\theta\) в интервале \([0^\circ, 360^\circ)\), для которого \(\cos \theta = -1\) и \(\sin \theta = 0\), это \(\theta = 180^\circ\). Ответ: **180**