Решение задачи: Аргумент комплексного числа z = 1 + √3i

Хорошо, давайте решим задачи из Вопросов 24 и 25.

Вопрос 24:

Найти (в градусах) аргумент комплексного числа \(z = 1 + \sqrt{3}i\).

Комплексное число \(z = 1 + \sqrt{3}i\) имеет действительную часть \(x = 1\) и мнимую часть \(y = \sqrt{3}\). Это число находится в первом квадранте комплексной плоскости (поскольку \(x > 0\) и \(y > 0\)). Сначала найдем модуль комплексного числа: \(|z| = r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\). Теперь найдем аргумент \(\theta\). Используем соотношения: \(\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{1}{2}\) \(\sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) Мы ищем угол \(\theta\) в первом квадранте, для которого \(\cos \theta = \frac{1}{2}\) и \(\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Известно, что этот угол равен \(60^\circ\) (или \(\frac{\pi}{3}\) радиан). Ответ: **60**

Вопрос 25:

Выполнить сложение комплексных чисел \(z_1 = 3 + i\) и \(z_2 = 5 - 2i\). Ответ записать в виде \(x + yi\).

Для сложения двух комплексных чисел \(z_1 = a + bi\) и \(z_2 = c + di\) просто складываются их действительные части и мнимые части отдельно: \(z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i\) В нашем случае \(z_1 = 3 + i\) и \(z_2 = 5 - 2i\). Здесь \(a = 3\), \(b = 1\), \(c = 5\), \(d = -2\). Подставляем значения: Действительная часть: \(a + c = 3 + 5 = 8\) Мнимая часть: \(b + d = 1 + (-2) = 1 - 2 = -1\) Таким образом, сумма \(z_1 + z_2 = 8 - i\). Ответ: **8-i**