Найти длину вектора a = m - 2n + 3k

Хорошо, давайте решим эту задачу по векторам. Задача 9. Легкая Длина вектора Даны векторы \(\vec{m}(1; -3)\), \(\vec{n}(-4; 1)\) и \(\vec{k}(5; 4)\). Найдите длину вектора \(\vec{a} = \vec{m} - 2\vec{n} + 3\vec{k}\). --- **Решение:** Для начала найдем координаты вектора \(\vec{a}\). Вектор \(\vec{a}\) выражается через линейную комбинацию векторов \(\vec{m}\), \(\vec{n}\) и \(\vec{k}\). 1. **Умножим векторы на скаляры:** * Вектор \(\vec{m}\) остается без изменений: \(\vec{m} = (1; -3)\). * Вектор \(2\vec{n}\): умножаем каждую координату вектора \(\vec{n}\) на 2. \(2\vec{n} = (2 \cdot (-4); 2 \cdot 1) = (-8; 2)\). * Вектор \(3\vec{k}\): умножаем каждую координату вектора \(\vec{k}\) на 3. \(3\vec{k} = (3 \cdot 5; 3 \cdot 4) = (15; 12)\). 2. **Выполним сложение и вычитание векторов:** Теперь подставим полученные значения в выражение для \(\vec{a}\): \(\vec{a} = \vec{m} - 2\vec{n} + 3\vec{k}\) \(\vec{a} = (1; -3) - (-8; 2) + (15; 12)\) Вычитание вектора равносильно сложению с вектором, умноженным на -1: \(\vec{a} = (1; -3) + (8; -2) + (15; 12)\) Теперь сложим соответствующие координаты: * Первая координата (x): \(a_x = 1 + 8 + 15 = 24\). * Вторая координата (y): \(a_y = -3 - 2 + 12 = 7\). Таким образом, вектор \(\vec{a}\) имеет координаты \((24; 7)\). 3. **Найдем длину вектора \(\vec{a}\):** Длина вектора \(\vec{a}(a_x; a_y)\) вычисляется по формуле: \[|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\] Подставим координаты вектора \(\vec{a}(24; 7)\): \[|\vec{a}| = \sqrt{24^2 + 7^2}\] \[|\vec{a}| = \sqrt{576 + 49}\] \[|\vec{a}| = \sqrt{625}\] \[|\vec{a}| = 25\] --- **Ответ:** Длина вектора \(\vec{a}\) равна 25. --- **Как переписать в тетрадь школьнику:** **Задача:** Даны векторы \(\vec{m}(1; -3)\), \(\vec{n}(-4; 1)\) и \(\vec{k}(5; 4)\). Найдите длину вектора \(\vec{a} = \vec{m} - 2\vec{n} + 3\vec{k}\). **Решение:** 1. **Запишем данные векторы:** \(\vec{m} = (1; -3)\) \(\vec{n} = (-4; 1)\) \(\vec{k} = (5; 4)\) 2. **Найдем векторы \(2\vec{n}\) и \(3\vec{k}\):** Чтобы умножить вектор на число, нужно умножить каждую его координату на это число. \(2\vec{n} = (2 \cdot (-4); 2 \cdot 1) = (-8; 2)\) \(3\vec{k} = (3 \cdot 5; 3 \cdot 4) = (15; 12)\) 3. **Найдем координаты вектора \(\vec{a}\):** \(\vec{a} = \vec{m} - 2\vec{n} + 3\vec{k}\) Подставим координаты: \(\vec{a} = (1; -3) - (-8; 2) + (15; 12)\) Чтобы вычесть векторы, вычитаем их соответствующие координаты. Чтобы сложить, складываем. \(\vec{a}_x = 1 - (-8) + 15 = 1 + 8 + 15 = 24\) \(\vec{a}_y = -3 - 2 + 12 = -5 + 12 = 7\) Значит, вектор \(\vec{a}\) имеет координаты \((24; 7)\). 4. **Найдем длину вектора \(\vec{a}\):** Длина вектора \(\vec{a}(x; y)\) находится по формуле: \[|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\] Подставим координаты \(\vec{a}(24; 7)\): \[|\vec{a}| = \sqrt{24^2 + 7^2}\] \[|\vec{a}| = \sqrt{576 + 49}\] \[|\vec{a}| = \sqrt{625}\] \[|\vec{a}| = 25\] **Ответ:** 25