Пример варианта ОГЭ по математике 2027 с решениями

Хорошо, я могу составить примерный вариант ОГЭ по математике (на основе текущей структуры и сложности) сразу с решениями. Буду использовать формат MathJax для формул и стараться сделать решения максимально понятными для школьника. *** Примерный вариант ОГЭ по математике на 2027 год Часть 1 При выполнении заданий 1-19 запишите в поле для ответа одну цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, или последовательность цифр. 1. Найдите значение выражения \( \frac{1,8 \cdot 0,4}{0,6} \). Ответ: __________ 2. На координатной прямой отмечены точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). \[ \begin{array}{ccccccc} \text{A} & & \text{B} & & \text{C} & & \text{D} \\ \longleftrightarrow & \bullet & \longleftrightarrow & \bullet & \longleftrightarrow & \bullet & \longleftrightarrow & \bullet & \longrightarrow \\ & 0,1 & & 0,2 & & 0,3 & & 0,4 \end{array} \] Какая из этих точек соответствует числу \( \frac{3}{10} \)? 1) \(A\) 2) \(B\) 3) \(C\) 4) \(D\) Ответ: __________ 3. Какое из следующих чисел является наименьшим? 1) \( \sqrt{10} \) 2) \( 3,1 \) 3) \( \frac{10}{3} \) 4) \( 3 \) Ответ: __________ 4. Решите уравнение \( 5(x-3) = 2x+3 \). Ответ: __________ 5. На тарелке лежат пирожки: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Олег наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней. Ответ: __________ 6. В таблице приведены нормативы по бегу на 30 метров для учащихся 9 класса. | Отметка | "5" | "4" | "3" | |---|---|---|---| | Время (в секундах) | 4,6-5,0 | 5,1-5,5 | 5,6-6,0 | Какую отметку получит ученик, пробежавший эту дистанцию за 5,3 секунды? 1) "5" 2) "4" 3) "3" 4) норматив не выполнен Ответ: __________ 7. Найдите значение выражения \( (2\sqrt{3})^2 \). Ответ: __________ 8. На графике изображена зависимость температуры воздуха от времени в течение суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько часов температура воздуха была ниже \( 0^\circ C \). \[ \begin{array}{c} \text{График зависимости температуры от времени} \\ \includegraphics[width=0.7\textwidth]{example_graph.png} \\ \text{(Представьте, что здесь график, где ось X - время от 0 до 24 часов, ось Y - температура.}\\ \text{Линия графика начинается выше 0, опускается ниже 0, затем снова поднимается выше 0.}\\ \text{Например, ниже 0 температура была с 2 часов ночи до 8 часов утра.)} \end{array} \] Ответ: __________ 9. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} x-3 > 0 \\ 5-x > 0 \end{cases} \] 1) \( (3; 5) \) 2) \( (-\infty; 3) \) 3) \( (5; +\infty) \) 4) \( (-\infty; 5) \) Ответ: __________ 10. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(AC=8\), \(BC=6\). Найдите \( \sin A \). Ответ: __________ 11. Площадь параллелограмма равна 40, а две его стороны равны 5 и 10. Найдите меньшую высоту этого параллелограмма. Ответ: __________ 12. В окружности с центром \(O\) проведены хорды \(AB\) и \(CD\). Известно, что \( \angle AOB = 70^\circ \) и \( \angle COD = 110^\circ \). Найдите градусную меру угла \(ACB\), если точки \(A, B, C, D\) расположены на окружности в указанном порядке. Ответ: __________ 13. Какое из следующих утверждений верно? 1) Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. 2) Все углы ромба равны. 3) Сумма углов любого треугольника равна \(180^\circ\). 4) Диагонали любого прямоугольника перпендикулярны. Ответ: __________ 14. В фирме "Рога и копыта" работают 10 человек. Их зарплаты (в тысячах рублей) составляют: 25, 30, 30, 35, 40, 40, 40, 50, 60, 70. Найдите медиану зарплат. Ответ: __________ 15. Вычислите \( \frac{1}{2} \cdot 10^2 - 3 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0 \). Ответ: __________ 16. Дана арифметическая прогрессия: \( 2, 5, 8, \dots \). Найдите сумму первых 10 членов этой прогрессии. Ответ: __________ 17. Найдите значение выражения \( \frac{a^2-b^2}{a-b} \) при \( a=12,5 \) и \( b=2,5 \). Ответ: __________ 18. На каком рисунке изображено множество решений неравенства \( x^2 - 4x \le 0 \)? 1) \[ \begin{array}{ccccccc} \longleftrightarrow & \bullet & \longleftrightarrow & \bullet & \longrightarrow \\ & 0 & & 4 \end{array} \] 2) \[ \begin{array}{ccccccc} \longleftrightarrow & \circ & \longleftrightarrow & \circ & \longrightarrow \\ & 0 & & 4 \end{array} \] 3) \[ \begin{array}{ccccccc} \longleftrightarrow & \bullet & \longleftrightarrow & \bullet & \longrightarrow \\ & -4 & & 0 \end{array} \] 4) \[ \begin{array}{ccccccc} \longleftrightarrow & \circ & \longleftrightarrow & \circ & \longrightarrow \\ & -4 & & 0 \end{array} \] Ответ: __________ 19. Длина окружности равна \( 10\pi \). Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью. Ответ: __________ *** Часть 2 При выполнении заданий 20-25 запишите полное решение и ответ. 20. Решите уравнение \( x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0 \). 21. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 54 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью, на 9 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт \(B\) одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. 22. Постройте график функции \( y = \frac{(x^2-4x+4)(x+1)}{x-2} \) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку. 23. Окружность с центром на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) касается сторон \(AB\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(M\) соответственно. Найдите \(AC\), если \(AK=6\), \(MC=4\), а радиус окружности равен 3. 24. В параллелограмме \(ABCD\) биссектриса угла \(A\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(E\). Найдите периметр параллелограмма, если \(AB=5\), а \(EC=3\). 25. В треугольнике \(ABC\) углы \(A\) и \(B\) равны \(30^\circ\) и \(70^\circ\) соответственно. Найдите угол между высотой \(CH\) и биссектрисой \(CL\), проведёнными из вершины \(C\). *** Решения Часть 1 1. Найдите значение выражения \( \frac{1,8 \cdot 0,4}{0,6} \). Решение: \[ \frac{1,8 \cdot 0,4}{0,6} = \frac{0,72}{0,6} = \frac{7,2}{6} = 1,2 \] Ответ: 1,2 2. На координатной прямой отмечены точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Какая из этих точек соответствует числу \( \frac{3}{10} \)? Решение: Переведём дробь в десятичную: \( \frac{3}{10} = 0,3 \). По рисунку видно, что точка \(C\) соответствует числу 0,3. Ответ: 3 3. Какое из следующих чисел является наименьшим? 1) \( \sqrt{10} \) 2) \( 3,1 \) 3) \( \frac{10}{3} \) 4) \( 3 \) Решение: Сравним числа, переведя их в десятичные дроби или возведя в квадрат (для корней): 1) \( \sqrt{10} \). Так как \( \sqrt{9} = 3 \) и \( \sqrt{16} = 4 \), то \( 3 < \sqrt{10} < 4 \). Точнее, \( \sqrt{10} \approx 3,16 \). 2) \( 3,1 \) 3) \( \frac{10}{3} = 3,333... \) 4) \( 3 \) Сравниваем: \( 3 < 3,1 < \sqrt{10} \approx 3,16 < \frac{10}{3} \approx 3,33 \). Наименьшее число – 3. Ответ: 4 4. Решите уравнение \( 5(x-3) = 2x+3 \). Решение: Раскроем скобки: \( 5x - 15 = 2x + 3 \) Перенесём слагаемые с \(x\) в одну сторону, числа – в другую: \( 5x - 2x = 3 + 15 \) \( 3x = 18 \) \( x = \frac{18}{3} \) \( x = 6 \) Ответ: 6 5. На тарелке лежат пирожки: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Олег наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней. Решение: Общее количество пирожков: \( 4 + 8 + 3 = 15 \). Количество пирожков с вишней: 3. Вероятность = (количество благоприятных исходов) / (общее количество исходов) \( P = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0,2 \) Ответ: 0,2 6. В таблице приведены нормативы по бегу на 30 метров для учащихся 9 класса. Какую отметку получит ученик, пробежавший эту дистанцию за 5,3 секунды? Решение: Смотрим в таблицу: "5" – 4,6-5,0 с "4" – 5,1-5,5 с "3" – 5,6-6,0 с Время 5,3 секунды попадает в интервал для отметки "4". Ответ: 2 7. Найдите значение выражения \( (2\sqrt{3})^2 \). Решение: \( (2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12 \) Ответ: 12 8. На графике изображена зависимость температуры воздуха от времени в течение суток. Определите по графику, сколько часов температура воздуха была ниже \( 0^\circ C \). Решение: (Предположим, что по графику температура была ниже \(0^\circ C\) с 2 часов ночи до 8 часов утра.) Интервал времени, когда температура была ниже \(0^\circ C\), составляет от 2 до 8 часов. Продолжительность этого интервала: \( 8 - 2 = 6 \) часов. Ответ: 6 9. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} x-3 > 0 \\ 5-x > 0 \end{cases} \] Решение: Решим каждое неравенство отдельно: 1) \( x-3 > 0 \Rightarrow x > 3 \) 2) \( 5-x > 0 \Rightarrow 5 > x \Rightarrow x < 5 \) Объединим решения: \( x > 3 \) и \( x < 5 \). Это означает, что \( 3 < x < 5 \). В интервальной записи это \( (3; 5) \). Ответ: 1 10. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(AC=8\), \(BC=6\). Найдите \( \sin A \). Решение: Для нахождения \( \sin A \) нам нужна гипотенуза \(AB\). По теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \) \( AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \) \( AB = \sqrt{100} = 10 \) Синус угла \(A\) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе: \( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = 0,6 \) Ответ: 0,6 11. Площадь параллелограмма равна 40, а две его стороны равны 5 и 10. Найдите меньшую высоту этого параллелограмма. Решение: Площадь параллелограмма \(S\) можно найти по формуле \( S = a \cdot h_a \), где \(a\) – сторона, \(h_a\) – высота, проведённая к этой стороне. У параллелограмма две высоты. Меньшая высота соответствует большей стороне. Пусть стороны \(a_1 = 10\) и \(a_2 = 5\). Высота \(h_1\) к стороне \(a_1\): \( 40 = 10 \cdot h_1 \Rightarrow h_1 = 4 \). Высота \(h_2\) к стороне \(a_2\): \( 40 = 5 \cdot h_2 \Rightarrow h_2 = 8 \). Меньшая высота равна 4. Ответ: 4 12. В окружности с центром \(O\) проведены хорды \(AB\) и \(CD\). Известно, что \( \angle AOB = 70^\circ \) и \( \angle COD = 110^\circ \). Найдите градусную меру угла \(ACB\), если точки \(A, B, C, D\) расположены на окружности в указанном порядке. Решение: Угол \(ACB\) является вписанным углом, опирающимся на дугу \(AB\). Градусная мера дуги \(AB\) равна центральному углу \( \angle AOB \), то есть \( 70^\circ \). Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. \( \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 70^\circ = 35^\circ \). (Информация про \( \angle COD \) в данном случае является избыточной для нахождения \( \angle ACB \).) Ответ: 35 13. Какое из следующих утверждений верно? 1) Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. (Верно, это аксиома параллельных прямых.) 2) Все углы ромба равны