Решение Тройного Интеграла ∭ 5xyz² dxdydz

Хорошо, давайте вычислим данный тройной интеграл. Задача: Вычислить тройной интеграл \[ \iiint_V 5xyz^2 \,dx\,dy\,dz \] по области \(V\), заданной неравенствами: \[ -1 \le x \le 0 \] \[ 2 \le y \le 3 \] \[ 1 \le z \le 2 \] Объяснение и решение: Шаг 1: Понимание тройного интеграла и области интегрирования. Тройной интеграл используется для вычисления объема или других величин в трехмерном пространстве. В данном случае, мы интегрируем функцию \(f(x,y,z) = 5xyz^2\) по прямоугольной области \(V\). Область \(V\) является прямоугольным параллелепипедом, так как границы для каждой переменной \(x\), \(y\), \(z\) являются константами. Это значительно упрощает вычисление интеграла, так как мы можем разбить его на произведение трех одномерных интегралов. Шаг 2: Разделение интеграла. Поскольку область интегрирования является прямоугольной, и подынтегральная функция может быть представлена как произведение функций от каждой переменной (то есть \(f(x,y,z) = g(x) \cdot h(y) \cdot k(z)\)), мы можем записать тройной интеграл как произведение трех отдельных интегралов: \[ \iiint_V 5xyz^2 \,dx\,dy\,dz = \left( \int_{-1}^{0} 5x \,dx \right) \cdot \left( \int_{2}^{3} y \,dy \right) \cdot \left( \int_{1}^{2} z^2 \,dz \right) \] Шаг 3: Вычисление каждого одномерного интеграла. Интеграл по \(x\): \[ \int_{-1}^{0} 5x \,dx \] Первообразная для \(5x\) это \(5 \frac{x^2}{2}\). Теперь подставим пределы интегрирования: \[ \left[ 5 \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = 5 \frac{0^2}{2} - 5 \frac{(-1)^2}{2} = 0 - 5 \frac{1}{2} = -\frac{5}{2} \] Интеграл по \(y\): \[ \int_{2}^{3} y \,dy \] Первообразная для \(y\) это \(\frac{y^2}{2}\). Теперь подставим пределы интегрирования: \[ \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{2}^{3} = \frac{3^2}{2} - \frac{2^2}{2} = \frac{9}{2} - \frac{4}{2} = \frac{5}{2} \] Интеграл по \(z\): \[ \int_{1}^{2} z^2 \,dz \] Первообразная для \(z^2\) это \(\frac{z^3}{3}\). Теперь подставим пределы интегрирования: \[ \left[ \frac{z^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \] Шаг 4: Перемножение результатов. Теперь перемножим результаты, полученные на Шаге 3: \[ \left( -\frac{5}{2} \right) \cdot \left( \frac{5}{2} \right) \cdot \left( \frac{7}{3} \right) \] \[ = -\frac{5 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 2 \cdot 3} \] \[ = -\frac{25 \cdot 7}{12} \] \[ = -\frac{175}{12} \] Окончательный ответ: \[ \iiint_V 5xyz^2 \,dx\,dy\,dz = -\frac{175}{12} \] Это и есть полное решение задачи с объяснениями.