Вычисление площади фигуры с помощью интеграла

На рисунке изображена криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции \( y = 4 - x^2 \) и осью абсцисс \( Ox \). Для нахождения площади \( S \) данной фигуры воспользуемся определенным интегралом. 1. Определим пределы интегрирования. Из графика видно, что парабола пересекает ось \( Ox \) в точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \). Это и будут наши пределы \( a \) и \( b \). 2. Составим интеграл для вычисления площади: \[ S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx \] 3. Вычислим первообразную функции \( f(x) = 4 - x^2 \): \[ F(x) = 4x - \frac{x^3}{3} \] 4. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \[ S = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} \] 5. Подставим значения верхнего и нижнего пределов: \[ S = \left( 4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) \] \[ S = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) \] \[ S = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} \] \[ S = 16 - \frac{16}{3} \] 6. Приведем к общему знаменателю и найдем итоговое значение: \[ S = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \] Ответ: Площадь фигуры равна \( 10\frac{2}{3} \) квадратных единиц.