Решение задачи с повторным и двойным интегралом

Вот решение вашей задачи, оформленное так, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь. а) Вычислить повторный интеграл \[ \int_0^1 dy \int_0^2 (3x - 2y) dx \] Сначала вычислим внутренний интеграл по \(x\): \[ \int_0^2 (3x - 2y) dx \] При интегрировании по \(x\), \(2y\) считается константой. \[ \left[ \frac{3x^2}{2} - 2yx \right]_0^2 \] Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования: \[ \left( \frac{3(2)^2}{2} - 2y(2) \right) - \left( \frac{3(0)^2}{2} - 2y(0) \right) \] \[ \left( \frac{3 \cdot 4}{2} - 4y \right) - (0 - 0) \] \[ (6 - 4y) \] Теперь подставим результат во внешний интеграл по \(y\): \[ \int_0^1 (6 - 4y) dy \] \[ \left[ 6y - \frac{4y^2}{2} \right]_0^1 \] \[ \left[ 6y - 2y^2 \right]_0^1 \] Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования: \[ (6(1) - 2(1)^2) - (6(0) - 2(0)^2) \] \[ (6 - 2) - (0 - 0) \] \[ 4 \] Ответ: \(4\) б) Составить два повторных интеграла, выбрать порядок обхода и вычислить двойной интеграл по заданной области \[ \iint_D xy \, dx \, dy \] Область \(D\) - треугольник \(ABC\) с вершинами \(A(0; 0)\), \(B(2; 0)\), \(C(0; 2)\). Нарисуем область интегрирования. Вершины: \(A = (0, 0)\) \(B = (2, 0)\) \(C = (0, 2)\) Стороны треугольника: 1. От \(A(0,0)\) до \(B(2,0)\) - это ось \(Ox\), уравнение \(y = 0\). 2. От \(A(0,0)\) до \(C(0,2)\) - это ось \(Oy\), уравнение \(x = 0\). 3. От \(B(2,0)\) до \(C(0,2)\) - это прямая, проходящая через точки \((2,0)\) и \((0,2)\). Уравнение прямой: \[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \] \[ \frac{x - 2}{0 - 2} = \frac{y - 0}{2 - 0} \] \[ \frac{x - 2}{-2} = \frac{y}{2} \] Умножим обе части на \(-2\): \[ x - 2 = -y \] \[ y = 2 - x \] Или \(x = 2 - y\). Составим два повторных интеграла. Вариант 1: Порядок интегрирования \(dy \, dx\) В этом случае внешнее интегрирование идет по \(x\), а внутреннее по \(y\). Для каждого \(x\) от \(0\) до \(2\), \(y\) изменяется от нижней границы до верхней. Нижняя граница для \(y\) - это ось \(Ox\), то есть \(y = 0\). Верхняя граница для \(y\) - это прямая \(y = 2 - x\). Пределы для \(x\): от \(0\) до \(2\). \[ \int_0^2 dx \int_0^{2-x} xy \, dy \] Вычислим этот интеграл. Сначала внутренний интеграл по \(y\): \[ \int_0^{2-x} xy \, dy \] При интегрировании по \(y\), \(x\) считается константой. \[ x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{2-x} \] \[ x \left( \frac{(2-x)^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) \] \[ \frac{x(2-x)^2}{2} \] Теперь подставим результат во внешний интеграл по \(x\): \[ \int_0^2 \frac{x(2-x)^2}{2} dx \] \[ \frac{1}{2} \int_0^2 x(4 - 4x + x^2) dx \] \[ \frac{1}{2} \int_0^2 (4x - 4x^2 + x^3) dx \] \[ \frac{1}{2} \left[ \frac{4x^2}{2} - \frac{4x^3}{3} + \frac{x^4}{4} \right]_0^2 \] \[ \frac{1}{2} \left[ 2x^2 - \frac{4x^3}{3} + \frac{x^4}{4} \right]_0^2 \] Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования: \[ \frac{1}{2} \left( \left( 2(2)^2 - \frac{4(2)^3}{3} + \frac{(2)^4}{4} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{4(0)^3}{3} + \frac{(0)^4}{4} \right) \right) \] \[ \frac{1}{2} \left( \left( 2 \cdot 4 - \frac{4 \cdot 8}{3} + \frac{16}{4} \right) - (0) \right) \] \[ \frac{1}{2} \left( 8 - \frac{32}{3} + 4 \right) \] \[ \frac{1}{2} \left( 12 - \frac{32}{3} \right) \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1}{2} \left( \frac{36}{3} - \frac{32}{3} \right) \] \[ \frac{1}{2} \left( \frac{4}{3} \right) \] \[ \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Вариант 2: Порядок интегрирования \(dx \, dy\) В этом случае внешнее интегрирование идет по \(y\), а внутреннее по \(x\). Для каждого \(y\) от \(0\) до \(2\), \(x\) изменяется от левой границы до правой. Левая граница для \(x\) - это ось \(Oy\), то есть \(x = 0\). Правая граница для \(x\) - это прямая \(x = 2 - y\). Пределы для \(y\): от \(0\) до \(2\). \[ \int_0^2 dy \int_0^{2-y} xy \, dx \] Вычислим этот интеграл. Сначала внутренний интеграл по \(x\): \[ \int_0^{2-y} xy \, dx \] При интегрировании по \(x\), \(y\) считается константой. \[ y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{2-y} \] \[ y \left( \frac{(2-y)^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) \] \[ \frac{y(2-y)^2}{2} \] Теперь подставим результат во внешний интеграл по \(y\): \[ \int_0^2 \frac{y(2-y)^2}{2} dy \] \[ \frac{1}{2} \int_0^2 y(4 - 4y + y^2) dy \] \[ \frac{1}{2} \int_0^2 (4y - 4y^2 + y^3) dy \] \[ \frac{1}{2} \left[ \frac{4y^2}{2} - \frac{4y^3}{3} + \frac{y^4}{4} \right]_0^2 \] \[ \frac{1}{2} \left[ 2y^2 - \frac{4y^3}{3} + \frac{y^4}{4} \right]_0^2 \] Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования: \[ \frac{1}{2} \left( \left( 2(2)^2 - \frac{4(2)^3}{3} + \frac{(2)^4}{4} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{4(0)^3}{3} + \frac{(0)^4}{4} \right) \right) \] \[ \frac{1}{2} \left( \left( 2 \cdot 4 - \frac{4 \cdot 8}{3} + \frac{16}{4} \right) - (0) \right) \] \[ \frac{1}{2} \left( 8 - \frac{32}{3} + 4 \right) \] \[ \frac{1}{2} \left( 12 - \frac{32}{3} \right) \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1}{2} \left( \frac{36}{3} - \frac{32}{3} \right) \] \[ \frac{1}{2} \left( \frac{4}{3} \right) \] \[ \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Оба порядка интегрирования дают одинаковый результат. Выберем для записи в тетрадь первый вариант, так как он был вычислен первым. Ответ: \(\frac{2}{3}\) в) Изменить порядок интегрирования \[ \int_0^2 dx \int_{x^2}^{2x} f(x, y) dy \] Сначала определим область интегрирования \(D\). Пределы для \(x\): от \(0\) до \(2\). Пределы для \(y\): от \(y = x^2\) до \(y = 2x\). Нарисуем область. Границы: 1. \(x = 0\) (ось \(Oy\)) 2. \(x = 2\) 3. \(y = x^2\) (парабола) 4. \(y = 2x\) (прямая) Найдем точки пересечения \(y = x^2\) и \(y = 2x\): \[ x^2 = 2x \] \[ x^2 - 2x = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \] Точки пересечения: \(x = 0\) и \(x = 2\). При \(x = 0\), \(y = 0^2 = 0\) и \(y = 2 \cdot 0 = 0\). Точка \((0, 0)\). При \(x = 2\), \(y = 2^2 = 4\) и \(y = 2 \cdot 2 = 4\). Точка \((2, 4)\). Область интегрирования ограничена сверху прямой \(y = 2x\) и снизу параболой \(y = x^2\), при этом \(x\) изменяется от \(0\) до \(2\). Теперь изменим порядок интегрирования на \(dx \, dy\). Это означает, что внешнее интегрирование будет по \(y\), а внутреннее по \(x\). Для этого нам нужно выразить \(x\) через \(y\) из уравнений границ: Из \(y = x^2\) получаем \(x = \sqrt{y}\) (поскольку \(x \ge 0\) в нашей области). Из \(y = 2x\) получаем \(x = \frac{y}{2}\). Теперь определим пределы для \(y\). Минимальное значение \(y\) в области - это \(0\) (в точке \((0,0)\)). Максимальное значение \(y\) в области - это \(4\) (в точке \((2,4)\)). Значит, \(y\) изменяется от \(0\) до \(4\). Для каждого значения \(y\) от \(0\) до \(4\), \(x\) изменяется от левой границы до правой. Левая граница для \(x\) - это прямая \(x = \frac{y}{2}\). Правая граница для \(x\) - это парабола \(x = \sqrt{y}\). Таким образом, измененный порядок интегрирования будет: \[ \int_0^4 dy \int_{y/2}^{\sqrt{y}} f(x, y) dx \] Ответ: \[ \int_0^4 dy \int_{y/2}^{\sqrt{y}} f(x, y) dx \]