school
Математика
verified
Решено AI
Решение задачи с повторным и двойным интегралом
help_outline
Условие задачи
Вычислитьа) вычислить повторный интегралб) составить два повторных интеграла, выбрать порядок обхода и вычислить двойной интеграл по заданной областив) изменить порядок интегрирования 15. а)∫ 𝑑𝑦∫ (3𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥00б) ∬𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷: ∆𝐴𝐵𝐶 𝐴(0; 0),𝐵(2; 0), 𝐶(0; 2)𝐷12𝑥2в) ∫ 𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦3𝑥202𝑥 График функции
lightbulb
Краткий ответ
Представлено решение задачи с вычислением повторного и двойного интеграла, а также сменой порядка интегрирования. Включает построение области интегрирования для наглядного решения.
Подробное решение
Хорошо, давайте построим график функции для задачи б) из вашего запроса.
Задача б):
\[ \iint_D xy \, dx \, dy \]
Область \(D\): треугольник \(ABC\) с вершинами \(A(0; 0)\), \(B(2; 0)\), \(C(0; 2)\).
Для построения графика нам нужно изобразить область интегрирования \(D\).
Это треугольник на координатной плоскости.
1. Нарисуйте координатные оси \(Ox\) и \(Oy\).
2. Отметьте вершины треугольника:
* Точка \(A\): \((0, 0)\) - это начало координат.
* Точка \(B\): \((2, 0)\) - находится на оси \(Ox\), на расстоянии 2 единиц от начала координат.
* Точка \(C\): \((0, 2)\) - находится на оси \(Oy\), на расстоянии 2 единиц от начала координат.
3. Соедините эти точки отрезками:
* Отрезок \(AB\): Это часть оси \(Ox\) от \(x=0\) до \(x=2\). Уравнение этой линии \(y=0\).
* Отрезок \(AC\): Это часть оси \(Oy\) от \(y=0\) до \(y=2\). Уравнение этой линии \(x=0\).
* Отрезок \(BC\): Это прямая, соединяющая точки \((2, 0)\) и \((0, 2)\). Уравнение этой прямой \(y = 2 - x\) (или \(x = 2 - y\)).
Вот как будет выглядеть график области интегрирования:
```
^ y
|
2 C *
| \
| \
| \
| \
| \
0 +-------* B
| 2 x
```
(Представьте, что это схематичный рисунок на тетрадном листе)
* Ось \(Ox\) горизонтальна.
* Ось \(Oy\) вертикальна.
* Точка \(A\) находится в начале координат \((0,0)\).
* Точка \(B\) находится на оси \(Ox\) в точке \((2,0)\).
* Точка \(C\) находится на оси \(Oy\) в точке \((0,2)\).
* Заштрихуйте или выделите область внутри этого треугольника, чтобы показать, что это и есть область \(D\).
Этот график наглядно показывает, как изменяются пределы интегрирования:
* Если интегрировать сначала по \(y\), а потом по \(x\):
* \(x\) изменяется от \(0\) до \(2\).
* Для каждого \(x\), \(y\) изменяется от \(0\) (нижняя граница, отрезок \(AB\)) до \(2-x\) (верхняя граница, отрезок \(BC\)).
* Если интегрировать сначала по \(x\), а потом по \(y\):
* \(y\) изменяется от \(0\) до \(2\).
* Для каждого \(y\), \(x\) изменяется от \(0\) (левая граница, отрезок \(AC\)) до \(2-y\) (правая граница, отрезок \(BC\)).
Надеюсь, это описание поможет вам нарисовать график в тетради!