Решение повторных и двойных интегралов

Хорошо, давайте построим график функции для задания в) из вашего запроса. Задание в): Изменить порядок интегрирования \[ \int_0^2 dx \int_{x^2}^{2x} f(x, y) dy \] Для построения графика нам нужно изобразить область интегрирования \(D\), которая задана пределами интеграла. 1. Нарисуйте координатные оси \(Ox\) и \(Oy\). 2. Определим границы области: * Внешний интеграл по \(x\): \(x\) изменяется от \(0\) до \(2\). Это означает, что область находится между вертикальными линиями \(x=0\) (ось \(Oy\)) и \(x=2\). * Внутренний интеграл по \(y\): \(y\) изменяется от \(y = x^2\) до \(y = 2x\). * Нижняя граница: \(y = x^2\) (парабола, открывающаяся вверх, вершина в \((0,0)\)). * Верхняя граница: \(y = 2x\) (прямая, проходящая через начало координат). 3. Найдем точки пересечения этих кривых: * Приравняем \(y = x^2\) и \(y = 2x\): \[ x^2 = 2x \] \[ x^2 - 2x = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \] Это дает нам \(x = 0\) и \(x = 2\). * Найдем соответствующие значения \(y\): * При \(x = 0\): \(y = 0^2 = 0\) и \(y = 2 \cdot 0 = 0\). Точка пересечения \((0, 0)\). * При \(x = 2\): \(y = 2^2 = 4\) и \(y = 2 \cdot 2 = 4\). Точка пересечения \((2, 4)\). 4. Построим график: * Нарисуйте параболу \(y = x^2\). Она проходит через \((0,0)\), \((1,1)\), \((2,4)\). * Нарисуйте прямую \(y = 2x\). Она проходит через \((0,0)\), \((1,2)\), \((2,4)\). * Область интегрирования \(D\) находится между этими двумя кривыми, от \(x=0\) до \(x=2\). * Парабола \(y=x^2\) будет нижней границей. * Прямая \(y=2x\) будет верхней границей. Вот как будет выглядеть график области интегрирования: ``` ^ y | 4 *-------* (2,4) <-- Точка пересечения | \ / | \ / | \ / | * (1,2) (на прямой y=2x) | / \ | / \ 1 *-------* (1,1) (на параболе y=x^2) | / \ |/ \ 0 +---------*-----> x 0 1 2 ``` (Представьте, что это схематичный рисунок на тетрадном листе) * Ось \(Ox\) горизонтальна. * Ось \(Oy\) вертикальна. * Кривая \(y = x^2\) (парабола) начинается от \((0,0)\) и идет вверх, проходя через \((1,1)\) и \((2,4)\). * Кривая \(y = 2x\) (прямая) начинается от \((0,0)\) и идет вверх, проходя через \((1,2)\) и \((2,4)\). * Область \(D\) - это фигура, ограниченная снизу параболой \(y=x^2\) и сверху прямой \(y=2x\), между \(x=0\) и \(x=2\). Заштрихуйте эту область. Когда мы меняем порядок интегрирования на \(dx \, dy\), мы смотрим на область по-другому: * \(y\) изменяется от \(0\) до \(4\) (это минимальное и максимальное значения \(y\) в области). * Для каждого \(y\), \(x\) изменяется от левой границы до правой. * Левая граница: \(x = y/2\) (из \(y = 2x\)). * Правая граница: \(x = \sqrt{y}\) (из \(y = x^2\)). Надеюсь, это описание поможет вам нарисовать график в тетради!