Решение задач 37 и 41: Вероятность перегорания ламп

Хорошо, решим задачи 37 и 41. Задача 37. (ОБЗ) Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Решение: Пусть событие \(A\) — "хотя бы одна лампа не перегорит". Противоположное событие \(\overline{A}\) — "все три лампы перегорят". Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,8. Обозначим её как \(P(\text{перегорит}) = 0,8\). Так как лампы перегорают независимо друг от друга, вероятность того, что все три лампы перегорят, равна произведению вероятностей перегорания каждой из них: \[P(\overline{A}) = P(\text{1-я перегорит}) \cdot P(\text{2-я перегорит}) \cdot P(\text{3-я перегорит})\] \[P(\overline{A}) = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8\] \[P(\overline{A}) = (0,8)^3\] \[P(\overline{A}) = 0,512\] Вероятность события \(A\) (хотя бы одна лампа не перегорит) можно найти как \(1 - P(\overline{A})\): \[P(A) = 1 - P(\overline{A})\] \[P(A) = 1 - 0,512\] \[P(A) = 0,488\] Ответ: 0,488 --- Задача 41. (ОБЗ) В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры. Решение: Сначала найдём общее количество фломастеров в коробке: Синие: 11 Красные: 6 Зелёные: 8 Всего фломастеров: \(11 + 6 + 8 = 25\). Нам нужно выбрать два фломастера случайным образом. Количество способов выбрать 2 фломастера из 25 можно найти с помощью формулы сочетаний: \[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\] Общее количество возможных исходов: \[C_{25}^2 = \frac{25!}{2!(25-2)!} = \frac{25!}{2!23!} = \frac{25 \cdot 24}{2 \cdot 1} = 25 \cdot 12 = 300\] Теперь найдём количество благоприятных исходов, то есть когда выбран один синий и один красный фломастер. Количество способов выбрать 1 синий фломастер из 11: \[C_{11}^1 = \frac{11!}{1!(11-1)!} = \frac{11!}{1!10!} = 11\] Количество способов выбрать 1 красный фломастер из 6: \[C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1!5!} = 6\] Количество благоприятных исходов (один синий И один красный) равно произведению количества способов выбрать синий и красный фломастеры: \[\text{Благоприятные исходы} = C_{11}^1 \cdot C_6^1 = 11 \cdot 6 = 66\] Вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов: \[P = \frac{\text{Благоприятные исходы}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{66}{300}\] Сократим дробь: \[P = \frac{66}{300} = \frac{33}{150} = \frac{11}{50}\] Переведём в десятичную дробь: \[P = \frac{11}{50} = 0,22\] Ответ: 0,22